基于培养学生“代数思维”的一题一课实践与思考——以“有趣的数阵”一课为例

基于培养学生“代数思维”的一题一课实践与思考 ——以“有趣的数阵”一课为例

余佳慧

杭州市萧山区河上镇大桥中心小学

【摘要】有重复数的数阵图的学习，学生一般以“枚举尝试”的方法进行学习。本课学习中，教师通过分解代数关系式的形式，让学生在自主探究和小组交流的基础上，形成“八个数的和＋重复数的和=左圆的和＋右圆的和”，在第二次探究中，运用建立好的代数式模型，发现重复数是单数不行，双数才行，在第三次探究中，得出最小重复数的和与最大重复数的和，并研究了重复数相同，但左右侧圆的三个数有变化的情况。基于“一题一课”的集中研究，课堂中层层推进学习过程，充分的培养了学生的代数思维。

【关键词】代数 思维 数阵 探究

一、“一题一课”的需要

例题：两个一样大的圆，每个圆上有5个小圆，把涂色的两个小圆重叠。并把1—8个数字填入每个小圆内，使两个圆上5个小圆内数的和相等。

这是一道涉及“重叠”的数阵图，学生在平时的学习中，有没有接触过类似的题目呢？我们翻阅了人教版的教材和配套的练习本，有类似的题目主要有：

学生在解题的过程中，已经初步知道解题中的基本思路：（1）求出几个数的和；（2）确定重叠部分的数；（3）计算每行数的和；（4）填每行的数。

基于学生有了类似解题的经历和初步的方法，我们对例题进行了前测：

把1、2、3、4、5、6、7、8八个数填入下图的○内，使每个大圆上五个数的和相等(每个数字只能用一次)

思考：1+2+3+4+5+6+7+8=36，中间两个圆的和 与 左圆的和、右圆的和有什么关系？

得到的结果是学生会计算：中间两个圆的和：3＋7=10；左圆的和：1＋4＋8＋3＋7=23；右圆的和：2＋5＋6＋3＋7=23。但是最后一个关于36、中间两圆之和、左圆的和、右圆的和右什么关系说不出来，暴露了学生在代数思维的缺陷。基于这样的学情状况，我们在三年级开展了一次“一题一课”的思维拓展训练课学习。

二、“代数思维”的培养

（一）初步探究

数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用

1.认识数阵图，分析信息。

从图中你知道了哪些数学信息？

（1）把8个数字填入八个○内，数字是不能重复的，也就是每个数字只能用1次；

（2）中间黄颜色两个○内的数，是要重复使用的，就是说求左圆的和要加它们，计算右圆的时候，也要加上它们；

（3）左圆的和就是把5个圆的数字加起来，右圆的和就是把右边5个圆加起来。

2.自主探究，小组交流。

（1）重复数的和：3＋7=10；左圆的和：1＋4＋8＋3＋7=23；右圆的和：2＋5＋6＋3＋7=23。

（2）重复数的和：2＋8=10；左圆的和：1＋5＋7＋2＋8=23；右圆的和：3＋4＋6＋2＋8=23。

（3）重复数的和：4＋6=10；左圆的和：1＋5＋7＋4＋6=23；右圆的和：2＋3＋8＋4＋6=23。

3.比较异同，寻找规律。

（1）这几个同学重复数的和都是10，左圆的和、右圆的和都是23。

（2）他们组成10的数字是不一样的，有3和7，有2和8，有4和6

4.聚焦和相等，建立代数思维。

教师质疑：为什么中间重复数的和是10以后，左圆的和与右圆的和都是23呢？

（1）我是这样做的，重复是3和7，余下1、2、4、5、6、8。把这六个数字分成相等两组的话，我试了一下，就是1＋4＋8=13，2＋5＋6=13；13＋10就是23了；

（2）其实可以把1、2、4、5、6、8加起来，等于26，然后分成两组就是26÷2=13，13就分成了（1、4、8）和（2、5、6），最后是13＋10就是23了；

（3）我是看探究单的最后一句话的，八个数的和就是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8=36，重复数的和是10。36＋10=46，把46分成两组，就是46÷2=23。

（4）师生小结：第一位同学和第二位同学的思路，可以归纳为把剩下的6个数字组成这样的等式1＋4＋8=2＋5＋6；第三位同学的思路，我们可以归纳为36＋10=23＋23，也就是：八个数之和＋重复数之和=左圆的和＋右圆的和。

【反思】从前测中，我们知晓了学生填数阵是有一定的经验，譬如先会去填中间的两个重复数，而且会选择比较方便的凑十法。在课堂的探究中，我们发现学生的计算还是非常好的，中间2个数的和，左边3个数的和，右边3个数的和，慢慢的感悟到“左圆”=“右圆”这样的代数思维。

（二）再次探究

1.中间两个数的和不是10，请大家尝试算一算，然后组内进行交流。

（1）重复数的和：1＋2=3，36＋3=39，39÷2，不能平均分成两份，因为有余数了；

（2）重复数的和：1＋3=4，36＋4=40，40÷2=20，左圆的和=20=右圆的和，我们是这样的：2＋6＋8＋（1＋3）=4＋5＋7＋（1＋3），括号里的1＋3就是重复数；

2.比较上面两个同学的做法，你有什么发现？

（1）第一个因为除以2，有余数了，所以不行；

（2）重复数的和不能是单数，这样36＋单数=新单数，除以2就不行；

（3）我认为36＋双数=左圆的和＋右圆的和

【反思】学生利用已有的方法，先填中间数，再求和，然后平均分，发现了有的和可以平均分，有的和不可以平均分，在这个环节，学生是在运用“八个数的和＋重复数的和＝左圆的和＋右圆的和”这个建立起来的代数模型，进而发现了重复数的和是“单数”不行，是“双数”就行。学生能自主运用代数模型，实证分析，小组交流，批判思考……激发了学生兴趣，调动了学生积极性，引发了学生的数学思考，培养了创造性思维。

数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力，培养

1.中间重复数的和，最小可以几？最大可以是几？

（1）最小1＋2=3是单数，不行，所以最小是1＋3=4；我组成的和是这样的：2＋6＋8＋（1＋3）=4＋5＋7＋（1＋3）=20。这个20还有一种算法是（36＋重复数的和4）÷2。

（2）最大7＋8=15是单数，不行，所以最大是6＋8=14；我组成的和是这样的：1＋3＋7＋（6＋8）=2＋4＋5＋（6＋8）=25。这个25还有一种算法是（36＋重复数的和14）÷2得到的。

（3）小结，当重复数的和是4，五个○的和最小是20，当重复数的和是14，五个○最大是25。那么五个○的和还可以是多少呢？（20、21、22、23、24、25这样6种情况）

2.如果中间重复数的是6，那么有几种不同的情况呢？

（1）6可以是1＋5，组成的和是这样的：2＋6＋7＋（1＋5）=3＋4＋8＋（1＋5）

（2）6还可以是2＋4，组成的和是这样的：1＋6＋8＋（2＋4）=3＋5＋7＋（2＋4）

（四）课堂总结

1.找一找这节课中相等的一些关系式：

（1）八个数的和＋重复数的和=左圆的和＋右圆的和

（2）8个数 ＋2个数=5个数＋5个数

（3）左侧圆的3个数＋重复2个数=右侧圆的3个数＋重复2个数

（4）左侧圆的3个数的和=右侧圆的3个数

三、日积月累的收获

（一）有条理的设计。一题一课的设计，首先是对这道题的前期知识点和学情分析，了解真实的难点和关键点；其次是课堂实践，注重知识点的由浅入深，突出自主、合作、探究的教学方式；最后聚焦学生思维的培养，看似一道题目，其中包含数学信息的提取，数量关系的分析，问题解决的方法，解决途径的多样，问题答案的开放……这道题好比是中考的压轴题。

（二）有层次的探究。关注每个学生发展的设计，体现不同的人在数学上得到不同的发展。在“有趣的数阵”这节课中，示范性的安排重复数是10，每个学生都能解决左圆和等于右圆和的填写，然后开放重复数的和，发现单数不行，双数可以，我们发现有些学生达到了“跳一跳摘到桃子”的感觉了，再到重复数的和相等，但左侧圆和右侧圆填数的多样性，挑战学生考虑问题的全面性，最后是梳理代数关系式，有的学生发现了一个关系式，有的学生发现了多个关系式，但都达到了“代数思维”方法的提炼过程，促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。

（三）有目标的落实。每一节课都要达成一定的学习目标，围绕数阵这节课，我们提出了这样三个目标：第一经历解决数阵图的过程,培养数感,提高计算能力；第二学生掌握数阵图的基本方法,积累数学活动经验；第三培养学生代数思维能力、推理能力、试探归纳等思维能力。设定这样的教学目标，也是基于从知识、能力、数学思想等方面的综合考虑，一题一题只是一种借综合题，多方位、多层次、多样性的深入研究，背后真正想培养的是学生的创新能力，所以我们借助一个个小目标，引导学生发现问题、独立思考、归纳概括、实证分析、总结规律……最终达成学生创新能力的过程经历、积累和提高。