理清知识脉络 促进意义理解—— 一道分数意义习题的思考与探索

(整期优先)网络出版时间:2021-02-24
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理清知识脉络 促进意义理解—— 一道分数意义习题的思考与探索

郭益东

浙江省杭州市萧山区瓜沥镇光明小学 311241


缘起

60361a8fd1d98_html_665d72a29b148b81.png 习题呈现:

此题是五年级检测试卷中的一道常考题,学生错误率非常高,甚至有部分学生一直到小学毕业,还没有搞明白究竟怎么回事。笔者在五年级两个班的76位学生就本题进行了测试。为了更清楚的了解学生的思考过程,以便更准确的把握学生的错误原因,要求学生用文字结合示意图的形式加以说明,10分钟内独立完成,整个过程真实、可信。仅看结果,正确的有39人(两个班分别为20人和19人),正确率为51.3%,结果与过程均正确的仅有30人(两个班分别为16人和14人),仅占39.5%,真是让人大跌眼镜。

课后与同事交流中发现,很多同事对这个习题也是头疼不已,从一开始的耐心讲解分析,到最后让学生的死记硬背,效果总不是那么的理想。笔者试图通过回顾分数学习的历程,理清分数学习的知识脉络,找寻错误的根源,从课堂教学的角度提出一些教学建议,促进学生对分数意义的理解。

分析

这道习题考察的知识点是什么?分数的意义吗?分数的意义究竟有哪些?现在主流观点认为分数具有“率”和“量”两种不同的意义。笔者试图通过回顾两种分数意义学习的历程,理清分数学习的知识脉络,找寻错误的根源,从课堂教学的角度提出一些教学建议,促进学生对分数意义的理解。

1.表示一种关系

学生三年级时从“部分与整体关系”的意义认识了分数,强调在“平均分”的基础上,加入整体的概念,让学生认识到,与整体相比较,部分也可以是一个数。新版的人教版教材中,还增加了“分数的简单应用”,教材先安排了“把一些物体看作一个整体平均分成若干份,其中的一份或几份可以用分数表示”的内容,促进学生对分数意义表征的理解内化。接着,又安排了解决“求一个数的几分之一或几分之几是多少”的问题,旨在让学生利用已学的分数的意义的知识,同时结合整数乘除法的解决简单的实际问题,进行有效迁移学习。这样一来,既沟通了分数与除法的关系,又促进了学生对分数两种意义的理解。

但从三年级一直到五年级,学生头脑中对分数的意义理解仅有一种:“部分与整体的关系”。到了五下年级第一课时“分数的意义”仍旧突出了这种关系,明确提出整体可以是一个或者多个物体,但不管是一个还是多个物体,表示的意义仍旧为“一种关系”。

在分数表示“部分与整体关系”意义的教学中,更多的着眼于“平均分”与“整体”的理解,在这里表示“部分与整体的关系”的强调相对较少。如将4个饼作为一个整体,那么它的60361a8fd1d98_html_4ac553f5b1e6ea74.gif 实际上表示1个饼,而有不少的学生认为是60361a8fd1d98_html_4ac553f5b1e6ea74.gif 个饼。只有认识到分数在这里表示的是 “一种关系”,才能认识分数表示“部分与整体的关系”的本质。

2.表示具体数量

五下年级《分数的意义与性质》的第二课时为“分数与除法”,这里除法的结果可以用一个分数来表示,这实际上是对分数商的意义的一种内化学习。教材安排了两道例题来说明分数与除法的关系。先让学生从除法的意义出发,根据等分除或包含除的意义列出算式;然后根据分数的意义,直接说出结果:1÷3=60361a8fd1d98_html_e33c75cd4163e02e.gif 个。因为,等分除与平均分,实质上是相通的。这样就把算式与结果,作了有效的对接,也就是将除法计算与分数结果联系了起来。例2:把3块月饼平均分给4人,每人分到多少块?有了例1的经验学生很容易就能列出除法算式:3÷4,但对于结果更多学生习惯用小数来表示。为此,教材安排了一组图来帮助学生理解结果:可以把3个月饼叠起来,平均分成四份,每份是3个60361a8fd1d98_html_4ac553f5b1e6ea74.gif 块,也就是60361a8fd1d98_html_c58cc75f63450301.gif 块。教材中也出现了a÷b=60361a8fd1d98_html_61bbf1a5d2397ecf.gif (b≠0)这样的关系式,明确的表示分数与除法的关系。

60361a8fd1d98_html_3b532010f34c18cc.png 于分数与除法的关系,很多学生只停留在表面的各部分的联系,进行了比较与迁移。而分数与除法的本质关系,却是用分数来表示除法运算的结果。在教学中,我们往往只关注了它们外在联系,而忽视了它们之间内在的本质沟通。

在教学“分数与除法”后,练习中有这样的题目 正确率一般都很高,因为题目中已经明确告诉学生要用分数表示除法的结果,所以学生会很熟练的把被除数看成分子,除数看成分母(图一)。但如果是这样的题目“1÷7=( )”,结果往往不是用分数表示的(图二)。学生为什么不用分数表示除法的商呢?课后访谈得知,虽然已经学习过分数与除法的关系,但很多学生还是认为只有整数和小数才能表示计算的结果,而分数只表示“几份中占了几份”,也就是只表示“一种关系”。也说明学生只是从外在的形式上认识了分数与除法的关系,对分数表示“商”的意义是远远不够的。

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图一 图二

在分数意义的学习过程中,我们要注重学习素材与生活经验进行合理衔接,让学习的素养更具有现实意义,这样才能让数学的知识更贴近于生活实际,这就要求我们从数学的外部恰当地引入了分数。教材又从学生喜闻乐见的“分蛋糕、分月饼”等经常经历的事进行引入,抽象出分数与除法的关系,这实际上从纯数学的角度,赋予了分数“商”的意义。从现实生活的问题中引入分数“部分与整体关系”的意义,利用现实情境与实物操作的方法,有利于学生对“份数”和“商”的意义理解。

从学生对两种不同意义的学习历程中不难发现,学生对分数表示“部分与整体关系”的意义是根深蒂固的,不利于对分数其他意义的理解。这道习题实际上就是考察了分数表示“关系”与“商”两种不同意义的理解,然而当学习了“分数与除法”之后,原来分数也可以表示“商”。正是学生对分数表示“部分与整体关系”的根深蒂固,而对“分数与除法”没能从本质上理解,才使得学生的学习,仅停留在“被除数与分子,除数与分母”的表层理解上。因此区分分数表示两种不同的意义还是有一定难度的,错误率高也就不难理解了。

思考

怎样更好的帮助学生认识分数的两种不同意义,并理解内在的联系和区别呢?从学生学习两种意义的历程分析,笔者认为可以从以下两个方面进行教学尝试。

1.合并教学

以人教版为例,分数两种意义的教学是分成两课时的,第一课时学习“部分与整体关系”的意义,第二课时学习“商”的意义。笔者认为这样的编排,仍旧突出了“份数”的意义,可能不利于学生对“商”的意义理解,以致于不能很好的区分两种不同的意义。能否把分数的两种意义合并教学?在同一课时中让学生理解、辨析、区分两种不同的意义,会不会更好的掌握分数的两种意义呢?笔者在四下年级学生中做了尝试,在课后练习测验和访谈中,教学效果比原来分开教学要好一些。

2.对比教学

针对学生做题的错误率高,究其原因,还是对意义的理解不到位。本题是让学生直接区分分数的两种不同意义,因为对两种意义的理解不透彻,所以对很多学生来说有一定难度。如果单独考察学生对分数两种意义的理解,是否会更好一些?故在此后又重新让两个班的学生分别作了测试,而且两个班的测试内容还作了适当的区分,具体如下:

第一次:单独考察学生对分数表示“部分与总体关系”的理解。特意在两个班设置相同类型,但题数不同的题目,仍旧要求学生用文字结合示意图的方式加以说明思考过程。目的是了解学生对“份数”意义的理解情况,以及单个题目与多个相同类型题目对学生的理解是否会有区别,以便更好的指导课堂教学。

502班(共1题): 把2个蛋糕平均分成4份,每份是这些蛋糕的几分之几?

503班(共3题): 把1个蛋糕平均分成4份,每份是这个蛋糕的几分之几?

把4个蛋糕平均分成4份,每份是这些蛋糕的几分之几?

把2个蛋糕平均分成4份,每份是这些蛋糕的几分之几?

班级

答题的人数

正确的人数

正确率

502

38人

26人

68.4%

503

38人

33人

86.8%

过程与结果均正确的视为正确(503班要求3题全部正确)。从结果来看,大部分学生对“份数”意义已经理解。此前单元练习题测试结果两个班并无明显差异,多个练习的正确率要高于单个练习的正确率。

第二次:单独考察学生对分数表示“商”的理解。和第一次考察一样,也在两个平行班中设置了单个题目与多个相同类型的题目,但对单个题目和多个题目的考察进行了班级交换。仍旧要求学生用文字结合示意图的方式加以说明思考过程,调查在正确率上是否会有差异以及差异是否明显。

502班(共3题): 把4个蛋糕平均分成4份,每份是几分之几个蛋糕?

把1个蛋糕平均分成4份,每份是几分之几个蛋糕?

把2个蛋糕平均分成4份,每份是几分之几个蛋糕?

503班(共1题): 把2个蛋糕平均分成4份,每份是几分之几个蛋糕?

班级

答题人数

正确人数

正确率

502

38人

23人

60.5%

503

38人

18人

47.4%

过程与结果均正确的视为正确(502班要求3题全部正确)。从结果来看,还是有相当一部分的学生对“商”的意义是不理解的,有对比练习的多个题目的正确率要好于单个题目。

通过两次对比测试可以看出:学生对单独考察分数的两种意义要略好于两种意义混合考察,说明学生对两种意义的理解是有一定的认知基础的,只是概念还不够清晰,容易混淆。从分数表示两种不同意义的角度看,学生对分数表示“部分与整体关系”的理解要优于分数表示“商”的理解,从学生的学习历程也印证了这一点。不管是考察学生对“部分与总数关系”的理解,还是考察分数表示“商”的理解,有多个练习对比测试的正确率均优于单一练习测试的正确率,说明有对比的练习题对学生理解分数的意义是有一定帮助的。

教学实践

基于学生对分数两种意义掌握的现状,笔者认为在分数意义的教学中,可以从分数表示“份数”的定义引入,但重点应放在分数“商”的意义及两种意义的辨析上。笔者在四下年级重新进行了两次教学实践,教学效果要优于原先分成两课时教学。

【环节一】:以“平均分”引入,引发学生思考

  1. 提问:我们学过的数学知识中,哪些跟“平均分”有关?

根据学生回答,板书:平均分 分数 除法

  1. 提问:分数是一种数,除法是一种运算,既然都与“平均分”有关,那么分数与除法之间究竟有怎样的关系呢?今天我们继续来认识分数。

(直接从平均分的角度把除法与分数联系起来,引发学生思考两者之间是否有关联?有怎样的关系?)

【环节二】:异中求同:学习分数“份数”的意义

  1. 认识一个整体

  1. 出示例题:请你画出示意图分一分,思考:每份是全部的几分之几?

  1. 把1个蛋糕平均分成4份,每份是这个蛋糕的几分之几?

  2. 把4个蛋糕平均分成4份,每份是这些蛋糕的几分之几?

  3. 把2个蛋糕平均分成4份,每份是这些蛋糕的几分之几?

  1. 思考:分别是谁在平均分成4份?请把它圈出来。

60361a8fd1d98_html_4ec70946bdb5bbb9.png 据学生回答板书:



  1. 小结:我们都可以把一个物体或多个物体,看成“一个整体”。

(由于在三上年级《分数的简单应用》中已经对多个物体表示一个整体有过接触,对多个物体表示一个整体,学生已经有了初步的认识与感知。通过画一画、分一分中认识到,不管是1个、4个还是2个蛋糕,都是平均分成了4份,每份就是全部的60361a8fd1d98_html_4ac553f5b1e6ea74.gif ,在讨论与交流中加深对“份数”意义的理解。)

  1. 揭示“份数”的定义

  1. 提问:不同的蛋糕个数在平均分,为什么都是60361a8fd1d98_html_4ac553f5b1e6ea74.gif 呢?

  2. 小结:都是总数4份里的1份,只是整体不一样了。分数在这里都表示部分和整体的一种关系。板书:一种关系。

(把1个蛋糕和4个蛋糕平均分成4份,每份是这个蛋糕的60361a8fd1d98_html_4ac553f5b1e6ea74.gif ,大部分学生能够理解,示意图和语言表达都没有问题。在两次执教过程中,也有学生提出:可以把4个蛋糕看成1个大蛋糕,把这个大蛋糕平均分成4份,也就和第1小题一样了。把2个蛋糕平均分成4份,每份是这些蛋糕的几分之几?在教学中学生出现了争议,有些学生认为是60361a8fd1d98_html_7f4157f1496bfc13.gif ,有些学生认为是60361a8fd1d98_html_17849e23a65f3e0e.gif ,因为有了之前的经验,大部分学生的理解是正确的,认为是60361a8fd1d98_html_4ac553f5b1e6ea74.gif 。同样有学生认为可以把2个蛋糕看成1个大蛋糕,也就和前两题道理一样了。)

【环节三】:同中求异:学习分数“除法”的意义

  1. 体会“除法”的意义

  1. 把4个蛋糕平均分成4份,每份是几个蛋糕?

提问:可以怎样列式?4÷4,等于多少?

  1. 把1个蛋糕平均分成4份,每份是几个蛋糕?

提问:算式怎么列?1÷4,追问:等于多少呢?学生根据刚才的示意图可以看出是60361a8fd1d98_html_4ac553f5b1e6ea74.gif 个蛋糕。(事实上,在这里很多学生对60361a8fd1d98_html_4ac553f5b1e6ea74.gif60361a8fd1d98_html_4ac553f5b1e6ea74.gif 个是混淆的。)

  1. 把2个蛋糕平均分成4份,每份是几个蛋糕?

提问:算式怎么列?2÷4,追问:等于多少呢?学生根据刚才的示意图可以看出是60361a8fd1d98_html_17849e23a65f3e0e.gif 个和60361a8fd1d98_html_6c74722c7f8c29e7.gif 个,为什么不是60361a8fd1d98_html_4ac553f5b1e6ea74.gif 个呢?根据学生回答补充板书:


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(从整数除法引入,学生更容易从平均分的角度把分数与除法联系起来。因为有了4个的经验,1个和2个平均分成4份,列式就比较容易了。至于结果是多少,学生可以根据示意图中看出来,但在这里学生对两种意义的区分仍旧是模糊的。)

  1. 区分两种不同的意义

  1. 看着板书思考:为什么不一样多的蛋糕平均分成4份,每份都是全部的60361a8fd1d98_html_4ac553f5b1e6ea74.gif ?(因为不管几个蛋糕都看成了一个整体,都表示4份中的1份)。这里的60361a8fd1d98_html_4ac553f5b1e6ea74.gif 表示其中一部分与整体之间的一种关系。

  2. 看着板书思考:为什么都是60361a8fd1d98_html_4ac553f5b1e6ea74.gif 却不一样多呢?(因为整体不同),看来具体多少个蛋糕和什么有关?(总数的多少)因为总数的多少不同,所以平均分成4份后其中的1份也会有多少。这里的60361a8fd1d98_html_4ac553f5b1e6ea74.gif 个、1个和60361a8fd1d98_html_17849e23a65f3e0e.gif 个表示一个具体的数量,可以用除法进行计算,用分数表示结果。

  3. 60361a8fd1d98_html_7e82d35b1aba8a1e.png 里的60361a8fd1d98_html_4ac553f5b1e6ea74.gif60361a8fd1d98_html_4ac553f5b1e6ea74.gif 个表示的意思一样吗?根据学生回答补充板书:






  1. 建立符号模型,搞清分数与除法的关系

  1. 观察三个除法算式,思考:怎样写出除法算式的商?(被除数与分子,除数与分母)

  2. 为什么可以这样表示?(分数和除法都可以表示平均分,比较联系观察后即可得出)

  3. 如果被除数是a,除数是b,a÷b=?得到:a÷b=60361a8fd1d98_html_61bbf1a5d2397ecf.gif ,并讨论b≠0。补充板书。

【环节四】:分数的产生

  1. 提问:什么时候我们会用到分数?(多数学生会提到分物体)

在日常生活中,除了分物体外,在测量物体长度的时,有时候往往无法正好得到整数的结果,这时候我们就可以用小数或分数来表示。其实也可以出现在计算中,比如在计算除法时,分数也可以表示除法的商,如1÷7=?(这时候很多学生还是习惯用小数来表示,会有很少一部分学生能用60361a8fd1d98_html_1aec9df1a0d99fa4.gif 表示结果。)7÷9=?(60361a8fd1d98_html_f6fb02e955f1a65a.gif ,体会分数表示除法结果的优势。)

(从数学的外部需要与数学内部发展需要两个角度,解释了分数产生的不同背景,帮助学生理解两种不同的意义,并从中体会分数表示结果的优势。)

  1. 课堂总结

今天我们认识了分数,分数可以表示一种关系表示一具体数量。


分数教学中,由于学生在刚接触分数时,都采用“份数”的定义引入,通过分一分、画一画等多种形式的强化,学生对分数表示“部分与整体的关系”是非常深刻的。这样对理解分数表示“商”是有负迁移作用的。因此,在教学设计中,通过“异中求同”、“同中求异”来帮助学生区分两种不同的意义,应该说更侧重于分数表示“商”的教学,是有利于更好地理解分数两种不同的意义的。只有理解了分数的不同意义,才可能真正理解分数的本质。


参考文献:

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