例析中职数学中不等式证明的一些基本方法

(整期优先)网络出版时间:2021-02-25
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例析中职 数学中不等式证明的一些基本方法

黄芬芬

株洲市工业中等专业学校 412000

[摘要]不等式在中职数学教学中占有很重要的位置。中职学生对于解不等式掌握较为娴熟,但对于不等式证明的相关题型,学生往往会陷入到一些不等式变化技巧的泥潭中。不等式是刻画现实世界中的不等关系的重要数学模型,是进一步学习数学和解决其他数学问题的基础和有利工具。因此,中职学生掌握住不等式证明的一些基本思想方法,还是很有必要,以后处理起类似问题,也会更有思路。

[关键词]中职数学;不等式;证明.

查阅近五年的对口升学高考题,可以看出,有关不等式知识内容的考查侧重点有所改变:不等式一般不会单独命题,会在其他题型中“隐蔽”出现,分值一般在10分左右。在每年对口升学的考题中,涉及到不等式的考查试题约占18.5%,对不等式基础模块内容的考查约占总分的10%左右。不等式部分考题分散到选择题、填空题和解答题上,难度差别比较大,选择题和填空题难度系数在0.5-0.7左右,解答题的难度系数变化较大。解不等式是考察学生基本的运算能力,而利用性质解决不等式的证明问题是为了加强学生的数学基本素养和体会数学基本思想,本文提出了4种证明不等式的常见方法,以期抛砖引玉。

1 比较法

比较法分为作差比较和作商比较,作差是最常用的方法,作差后只需比较差与0的大小;作商比较多用于都是正数、单项情况下,作商后将比值与“1”比较。含方根的式子比较大小时,常要将它们平方或立方,再比较,其根据是:

603733c777b85_html_faf1625af45121e3.gif ,则603733c777b85_html_f06da8eec6a13423.gif603733c777b85_html_9798f8bec275e14b.gif ;若603733c777b85_html_6aeb1154c766c85b.gif ,则603733c777b85_html_df7b5bce728f510a.gif603733c777b85_html_b6295e36a694ce7b.gif

1.1 作差比较

比较两个实数603733c777b85_html_523fe89d56017fdd.gif603733c777b85_html_177be596806e744f.gif 大小时,可借助603733c777b85_html_b32d568c7526c7a8.gif 的符号来判断,其根据是:

603733c777b85_html_b37b16e6d00b0215.gif ,则603733c777b85_html_b1bf670800fa4bb2.gif ;若603733c777b85_html_faec0c70d54c119d.gif ,则603733c777b85_html_e9301f5c7883c434.gif 。步骤为:作差—变形—判断差,变形时常用的方法有:配方、通分、因式分解、应用已知定理、公式等。

例1.1 若603733c777b85_html_915093b9822295e.gif603733c777b85_html_690934100ada24b.gif ,求证:603733c777b85_html_3bbc4b78b2921321.gif

证:603733c777b85_html_4fc64c942fe9808c.gif603733c777b85_html_a7e91c521ca67931.gif

603733c777b85_html_f444ddccbbd92277.gif603733c777b85_html_6f1c8d3d78b54e79.gif

评注:这是一道直接用做差法证明的不等式,也是基本不等式。

1.2 作商比较

步骤为:作商—变形—判断,作商法比较时,理论依据是:

603733c777b85_html_136c5ed41689d712.gif603733c777b85_html_e37852f315e6f42b.gif603733c777b85_html_29ed84d7241fae5c.gif603733c777b85_html_3b4e8cd8495d4ba5.gif 。作差法的判断是与“0”比较,而作商法的判断是与“1”比较并要求都是对正值而言。

例1.2 设603733c777b85_html_a5bd110a5ba3afb2.gif603733c777b85_html_e40bd1096add3497.gif ,求证:603733c777b85_html_7394963f2fc6ec23.gif

证:603733c777b85_html_a82939f90bd021a4.gif

603733c777b85_html_f9669c850e16a07b.gif

603733c777b85_html_aae912856c897b21.gif603733c777b85_html_a5bd110a5ba3afb2.gif603733c777b85_html_e40bd1096add3497.gif

603733c777b85_html_32c5cc09b60b7230.gif603733c777b85_html_bf8e36978229d7d9.gif

603733c777b85_html_32c5cc09b60b7230.gif603733c777b85_html_7394963f2fc6ec23.gif

评注:由于603733c777b85_html_a5bd110a5ba3afb2.gif603733c777b85_html_e40bd1096add3497.gif ,所以求证的不等式两边的值都大于零,可采用作差法或作商法。本题采用作商法给予证明,作商法理论依据为603733c777b85_html_2105364dc9d52bcb.gif603733c777b85_html_142fd1c765cc5cef.gif

2 分析法

从求证的不等式出发,逐步寻求使不等式成立的条件,直至所需条件被确认成立,就断定求证的不等式成立,这种证明方法叫分析法。分析法的思想是“执果索因”,即从求证的不等式出发,探求使结论成立的充分条件,直至已成立的不等式。

采用分析证明不等式时,常用符号“603733c777b85_html_3efad2200ec55695.gif ”,有时,若要为充要条件时,也常用“603733c777b85_html_3020dfbe3b31f1f5.gif ”符号。证明过程常表现为“要证……只要证……”

例2 设603733c777b85_html_803662fabbbc8d30.gif603733c777b85_html_7a0e0cb9cfc0d42a.gif ,求证:603733c777b85_html_63189b5c1651b459.gif

证: 要证原不等式成立,只要证603733c777b85_html_bb86a9d86d63c5a6.gif

只要证603733c777b85_html_26c8af30b4f06c5c.gif

只要证603733c777b85_html_e85ba3fdcb131101.gif 显然成立。

3 反证法

先假设结论不成立,并由此出发,推出与题设条件或已经知道的结论相矛盾的结果,从而说明结论成立。

反证法证明一个命题的思路及步骤:

假定命题的结论不成立;

进行推理,在推理中出现下列情况之一:与已知条件矛盾;与公理或定理矛盾;

由于上述矛盾的出现,可以断言,原来的假定“结论不成立”是错误的;

④肯定原来命题的结论是正确的。

例3 已知:603733c777b85_html_53b463cf5b531fae.gif603733c777b85_html_9eca71bbab9d98c8.gif ,证明:603733c777b85_html_bc8c9e70fa3c9532.gif

证: 假设603733c777b85_html_bf95d92d32bb0917.gif ,则有603733c777b85_html_ce078bfc5c8f06e3.gif ,从而603733c777b85_html_b6f9b62fd6a817fe.gif

即有603733c777b85_html_cc92bdfa3bb23617.gif

整理得603733c777b85_html_776d86896aa62ed0.gif

可推知603733c777b85_html_7de01d75c325a94.gif603733c777b85_html_4f76d59ccbe05758.gif 中必有一个不大于0

603733c777b85_html_d350fa3e3870e3b3.gif603733c777b85_html_b7bffc4fc87ecc8f.gif 中必有一个成立,与题设相矛盾

故假设不成立,必有603733c777b85_html_bc8c9e70fa3c9532.gif 成立。

4 换元法

换元可分为三角代换元和代数换元,原不等式的代数式,经适当的换元,能使证明过程简化,中职学生着重掌握代数换元。在有对称(任意交换个字母,代数式不变)或给定字母顺序(如603733c777b85_html_65679f460226a9dc.gif )的不等式时,考虑用代数换元法,其目的是通过换元达到减元,使问题化难为易,化繁为简。

例4 若603733c777b85_html_5722296a3500724c.gif ,求证:603733c777b85_html_693635686ba1b534.gif

证: 令603733c777b85_html_c9735923b5223184.gif603733c777b85_html_dd705c48b521ef22.gif ,则

603733c777b85_html_c12d1da9c46525a4.gif

603733c777b85_html_2ba46e80d22d8c27.gif

603733c777b85_html_dd785e221bd086e2.gif

当且仅当603733c777b85_html_83858e105064a847.gif ,即603733c777b85_html_f6f24b6998354d20.gif 时,等号成立。

5 数学归纳法

数学归纳法是一种由特殊到一般的推理方法,在证明与自然数603733c777b85_html_729cbfc2e0b963e4.gif 有关的不等式时,可用数学归纳法。数学归纳法的证明步骤:

验证当603733c777b85_html_b2fd6dd8dcfb80d5.gif 取第一个值603733c777b85_html_23f0e7d841e42863.gif (例如603733c777b85_html_9f2cfcebb7d09263.gif )时命题成立;

假设当603733c777b85_html_bf10ae2107b26545.gif 时命题成立,证明当603733c777b85_html_ae3fa6778b42009f.gif 时命题也成立;

有(1)(2)知,对于一切603733c777b85_html_ecc4a31c61b0ef74.gif 的自然数603733c777b85_html_b2fd6dd8dcfb80d5.gif 都成立。

  1. 证明不等式603733c777b85_html_7159c56834f108b4.gif

证明:当603733c777b85_html_fdc994b6439e61fc.gif 时,603733c777b85_html_3f6cff913448b523.gif . ①

假设603733c777b85_html_54aa9709330d1387.gif 时不等式成立,即603733c777b85_html_95fd668571a87461.gif

要证当603733c777b85_html_e240a218ba6e1861.gif 时不等式也成立

603733c777b85_html_7de95af9b21c02d2.gif


603733c777b85_html_a826f6145a3a0500.gif

603733c777b85_html_e7034418167809e1.gif 原不等式对任意自然数603733c777b85_html_f92bffd88373aad9.gif 都成立。

6 构造法

在证明不等式时,有时通过构造某种函数、方程、图形、向量、数列、复数等,可以达到简洁明快、以巧取胜的目的。

例6. 证明:603733c777b85_html_fc8ec48ba0714417.gif

证明:令603733c777b85_html_c9edf4755cc917d2.gif

603733c777b85_html_5de563f10071fa3c.gif

603733c777b85_html_e9d70129f33d726b.gif

603733c777b85_html_7fd72a4085623acc.gif

603733c777b85_html_7240c1f331196170.gif

603733c777b85_html_e7034418167809e1.gif603733c777b85_html_67c04c2968104bbf.gif 为偶函数

603733c777b85_html_7b4ec2582a16938f.gif 时,603733c777b85_html_a887df196b6d4719.gif603733c777b85_html_601d9488fcad9ac1.gif

即:603733c777b85_html_97ee59f6bd2ef65a.gif603733c777b85_html_2a539f361fde81ee.gif

根据偶函数的性质,当603733c777b85_html_bdd6401176d0a247.gif 时,603733c777b85_html_2a539f361fde81ee.gif

603733c777b85_html_e7034418167809e1.gif603733c777b85_html_bd63082d865afa27.gif 时,恒有603733c777b85_html_2a539f361fde81ee.gif

603733c777b85_html_e7034418167809e1.gif603733c777b85_html_fc8ec48ba0714417.gif 成立。

不等式的证明问题是培养学生数学思维的有效途径,以不等式性质、定理为理论依据,借助变量代换、化归转化、分析综合等数学思想方法就能很好地解决问题。突破中职数学不等式这一难点问题。


参考文献:

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