谈谈古典概型教学中数学建模的渗透

谈谈古典概型教学中数学建模的渗透

杨付贵

广州工商学院基础教学部　　 广东 佛山 三水 528138

摘要：所谓数学建模实际上就是我们对实际中所遇到的问题，经过观察、分析、抽象等步骤，应用数学的语言和方法，得到能近似刻画并“解决”该问题的一种数学思考方式。在概率统计的教学中，引入数学建模的思想，让学生通过观察、分析、抽象以及合理假设、通过利用某定律,建立相应的数学模型，然后，再对数学模型进行求解、验证、应用和加以推广。

关键词：古典概型；数学建模；渗透

一、在概率统计的教学中渗透数学建模思想的必要性

概率统计是高等院校普遍开设的一门基础课程，对于学生的专业课程有着举足轻重的作用，然而，由于这门课的高度抽象性和极强的理论性，课程内容有大量的概念和结论需要学生理解和掌握，再加上课时紧张，致使教师在授课之时，基本采取传统满堂灌的教学方式，由于无法调动学生学习的积极性，致使不少学生对这门课程的基本概念和知识理解都存在着较大难度，导致部分学生感到概率统计很抽象、很难学，作业也无从下手等不良状况。由于数学建模是利用数学的方法解决实际问题的一种思想方式，它是将实际中遇到的问题，通过分析、简化、抽象后，用数学语言来描述，建立起来的数学建模，然后利用先进的数学方法和现代计算机软件等工具求解数学模型，再对求解结果论证，最后，再返回到实际中，去分析解决实际问题．显然，如果能将数学建模的思想融入到概率论与数理统计的教学中，不仅可以使学生们感受到概率统计的魅力，增强他们学习概率统计的兴趣，还能让同学们体会到学习概率统计的重要价值。

二、数学建模在概率统计教学中的渗透

概率统计中的许多基本概念虽说都是从实际生活中抽象而来的，然而许多学生在学习时感觉概念难懂，内容抽象复杂，比如：概率的公理化定义，随机变量，概率密度等等这些非常重要的基本概念，使得学生不能将所学的理论知识来分析实际问题。为此，在进行概率统计的教学中，在介绍基本概念、定理以及性质时，应当注重引入一些基本概念产生的时代背景，比如，在引入概率的公理化定义时，我简介了概率论的起源，即著名的“赌金分配”问题：

概率论起源于15世纪中叶.尽管任何一个数学分支的产生与发展都不外乎是社会生产、科学技术自身发展的推动,然而概率论的产生,却肇事于所谓的“赌金分配”问题.

1494年意大利数学家帕西奥尼(1445－1509)出版了一本有关算术技术的书.书中叙述了这样的 一个问题:在一场赌博中,某一方先胜6局便算赢家,那么,当甲方胜了4局,乙方性了3局的情况下,因出现意外,赌局被中断,无法继续,此时,赌金应该如何分配?帕西奥尼的答案是:应当按照4:3的比例把赌金分给双方.当时,许多人都认为帕西奥尼的分法不是那么公平合理.因为,已胜了4局的一方只要再胜2局就可以拿走全部的赌金,而另一方则需要胜3局,并且只少有2局必须连胜,这样要困难得多.但是,人们又找不到更好的解决方法.在这以后100多年中,先后有多位数学家研究过这个问题,但均未得到过正确的答案.

直到1654年，一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题”,引起了这位法国天才数学家的兴趣,并促成了帕斯卡与费马这两位大数学家之间就此问题展开的异乎寻常频繁的通信,他们分别用了自己的方法独立而又正确地解决了这个问题.

费马的解法是,假设甲乙双方每局赢得可能性相同，在这种假设之下，如果继续赌局,最多只要再赌4轮便可决出胜负,如果用“甲”表示甲方胜，用“乙”表示乙方胜,那么最后4轮的结果,不外乎以下16种排列：甲甲甲甲；甲甲甲乙；甲甲乙甲；甲乙甲甲；乙甲甲甲；甲甲乙乙；甲乙甲乙；乙甲甲乙；甲乙乙甲；乙乙甲甲；乙甲乙甲；甲乙乙乙；乙甲乙乙；乙乙甲乙；乙乙乙甲；乙乙乙乙。在这16种排列中,当甲出现2次或2次以上时,甲方获胜,这种情况共有11种;当乙出现3次或3次以上时,乙方胜出,这种情况共有5种.因此,赌金应当按11:5比例分配.

由此产生了古典概型的概率的数学模型： 。再由此推出了概率的公理化定义。

这样做，不仅容易引起学生的兴趣，进一步加深对概率的公理化定义的理解，而且，对概率的公理化定义为什么会如此提出，会用以解决什么样的问题，最终会得到什么样的结论有一个系统直观的认识。激发了学生对该学科学习积极性。

实际上，概率的公理化定义，就是一个数学模型。我们现在对它进行求解和检验。

模型求解：考虑“投球模型”：现将 个球随机地放入 个盒子中，设事件 ，求事件 的概率 。

解：因为每放一个球，都有 种可能， 个球就有 种可能，所以，样本空间所包含的基本事件个数为 ，而事件 包含的基本事件个数为从 个盒子中取出 个的排列数 ，故 。

模型推广：实际中，有许多模型与投球模型具有相同的数学模型，比如，一批旅客到某旅社被随机安排住宿，那么，每位旅客恰好被安排到一个房间的概率；还比如，某一个班学生的生日都不在同一天的概率，等等。

模型检验：如果某班学生的人数为60，由上述给出的数学模型，他们的生日都不在同一天的概率为 。从而，他们当中至少有两人生日在同一天的概率为0.9922.这时，我们可以当堂来检验结论的正确性。可从班上随机抽出60个学生，可以告诉他们说,这60个学生中，一般必有两人生日相同。相信吗？这时，往往有许多同学摇摇头，表示并不一定有。但通过验证，通常确实有两人生日相同。使得摇头的同学感到很神奇。

模型应用：由于在概率论的发展初期，主要以古典概型为研究对象，很多性质，公式都是由古典概型的数学模型推出来的，所以它具有极其广泛的应用。比如： 重白努力实验中，恰好成功k次的概率为 （ 为一次独立实验中成功的概率）。具体地，例如，在90年代，全国大学生英语四级考试中，包括听力、语法结构、阅读理解、综合填空、写作等. 除英文写作占15分外, 其余为85道单选题, 即每道题有A、B、C、D四个选项，其中，只有一个是正确的,每道题1分，共85分.如果某同学对英语一窍不通，那么，他靠碰运气能通过应用四级考试吗？

假设我们不考虑英文写作所占的15分, 那么，按及格成绩为60分计算, 85道单选题，需要选对51道题以上. 如果单靠碰运气，瞎猜的话, 那么每一道题他选对的概率为 ，由于各道题的解答互不影响，所以，做85道单选题，就可以看成是85重白努力实验，每次成功的概率是 ，因此，他通过英语四级考试的概率为 。

显然，这个概率非常小，它相当于在一千亿个单靠碰运气的考生中，仅有0.874人能通过大学英语四级考试。另外，根据实际推断原理：小概率事件在一次实验中不应该发生。所以，如果不好好学习，只靠碰运气，是不可能通过大学英语四级考试的。

三、应注意的问题

在概率论与数理统计的教学中渗透数学建模的思想，我们要注意以下两点：一是以概率统计的基本内容为主，数学建模过程为辅，适当的安排，分清主次，在规定的教学学时内完成概率统计的教学任务。二是要着重介绍数学建模的思想和方法，但务必要因材施教。所选数学建模的例子一定要便于学生理解，尽可能提高同学们的兴趣，而且还要贴近生活实际。

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