逆概率公式及其应用

逆概率公式及其应用

李东方

广州工商学院基础教学部　　广东 佛山 三水 528138

摘要：逆概率公式（也称贝叶斯公式）也是概率论中一个非常重要的公式，在日常生活中有着极其广泛的应用。本文主要简介逆概率公式及其使用方法，并通过一些日常生活中的实际例子，帮助同学们全面、系统、深入的理解和掌握逆概率公式。

关键词：逆概率公式；概率统计；应用

逆概率公式是概率论中的一个十分重要的公式之一，在概率论的教学中，逆概率公式既是一个重点，也是一个难点。根据多年来的教学实践，归纳总结出对逆概率公式的理解方法、求解实际问题的分析方法、解题步骤以及如何应用此公式需要注意的事项等的教学体会，以使学生能够正确理解和掌握逆概率公式，更好地解决在日常生活中所遇到的相应实际问题。

1. 逆概率公式

定义：设 为样本空间 中的n个随机事件组成的事件组，如果它们满足三个条件：(1) ；(2) ；(3) ，则称 为样本空间 的一个完备事件组或称为样本空间 的一个划分。

定理：设事件组 为样本空间 的一个完备事件组，则对于任何一个正概率事件 ，有逆概率公式： 。

注：如果我们将事件 看成试验的一个结果，而将完备事件组 理解为是导致事件 发生的各种不同的原因，通常事件组 中的每一个事件的概率 ，

在事件 发生之前，就已经明确或可求出(称之为先验概率)，逆概率公式是在事件 (结果)已发生之后，再去考察的各种原因发生的概率 (称之为后验概率)。因此，假设试验如果可以分为两步，第一步试验的结果有若干个 ，它们构成了样本空间的一个划分，在第一步试验的基础上，再进行第二步试验，结果有若干个，如果只与第二步试验结果有关的某事件发生了，现在要求与第一步试验结果有关的某事件的概率，就要利用逆概率公式。

逆概率公式再日常生活中的应用十分广泛，比如在产品质量检测、医疗诊断、数字通信、侦破案件、信用及索赔等多个方面都发挥着非常重要的作用。它不仅可以帮助人们寻找导致某一事件发生的最可能的原因；还可以通过后验概率，来重新确认人们之前不确定的事情，或者对事情进行新的判断。下面我们通过具体的例子来阐述逆概率公式在实际生活中的应用。

2.在疫情诊断问题中的应用

例1 美国某城市被测验的居民中有0.6%是新冠病毒患者，而利用某种检测来诊断新冠病毒，其效果为:测试结果呈阳性，患病概率为0.96,而未患新冠病毒且测试结果呈阴性、假阴性、假阳性的概率为0.95。若当地一名居民测试结果呈阳性，那么该居民患新冠病毒的概率冇多大？

解：设事件 “测试结果呈阳性”，事件 “被测试者患有新冠病毒”， 由题设可知

，根据逆概率公式可得： ，即该居民患新冠病毒的概率为0.108.

由此可见，新冠病毒患者，测试结果呈阳性的概率比较大，为0.96，而测试结果呈阳性的居民患有新冠病毒患的概率只有0.108，这时，只能确定他为疑似患者，还需要进一步检测。

3.在数字通信问题中的应用

例2在数字通讯中,信号是由数字0和1的长序列组成的。由于随机干扰，发送的信号0或l各有可能错误接收为1或O。现假定发送信号为0和l的概率均为0.5；又已知发送0时，接收为0和l的概率分别为0.9和0.1；发送信号为1时，接收为1和 0的概率分别为O.8和0.2.求当收到信号0时，发出的信号也是0(即没有错误接收)的概率

解：设 “发送的信号为0”， “发送的信号为1”，事件 “接受的信号为0”，

事件 “接受的信号为1”，由题意

根据逆概率公式可得 .即正确率为0.818.

通过利用 逆概率公式计算，可以帮助我们从接收的结果中，分析信号传递的正确率。

4.在侦破案件问题中的应用

例3 某市在一个有雾的早晨，发生了一起交通事故，肇事车是本市的一辆出租车，已逃逸，有一目击者称，看到的是一辆绿色出租车，假设该市只有红、绿两种颜色的出租车，并且绿色占45％，红色占55％，我们通过测试可知，目击者将绿色看成绿色的概率为0.9，将绿色的看成红色的概率为0.1，将红色看成红色的概率为0.8，将红色看成绿色的概率为0.2。若你是交警，你能确信目击者的证言吗？

解：设 “该出租车确实是绿色的”, “该出租车确实是红色的”, “目击者看到的是绿色的”, “目击者看到的是红色的”,由题意

根据贝叶斯公式得 ，因此，即使目击者说的是真话，但他判断正确的概率仅为0.479，所以交警还要收集其它方面的证据，确定侦察方向.

5.在索赔问题中的应用

例4 从以往的资料中得知,在出口某种食品而导致的索赔案件中,有75%是质量问题,20%是份量短缺问题,5%是包装问题.又知在质量问题争议中,经过协商解决而不诉诸法律的占50%，在份量短缺问题中,经过协商解决而不诉诸法律的占70%，而在包装问题中，经过协商就可以解决也不诉诸法律的占85%，现在，有一件索赔案件，双方在争议中，只经过协商就解决了,问这一案件不属于质量问题的概率是多少?

解：设 “质量问题”, “份量短缺问题”, “包装问题”， “协商解决”,由题意

根据逆概率公式，我们有

。即这一案件不属于质量问题的概率是0.327.

6.在索赔问题中的应用

例5中信银行对在校贫困大学生进行助学贷款，某大学生承诺毕业五年内还清助学贷款，否则，将视该生为不遵守承诺(撒谎).假设对该生的信任程度为0.85，而可信的学生不遵守承诺的概率为0.05，不可信的学生不遵守承诺的概率为0.9，若该生在毕业五年内未还清贷款，求中信银行对该生的信任程度为多少?

解： ， ，由题意可知

，根据逆概率公式可得

，即中信银行对该生的信任程度为0.239.

由于该生不遵守承诺，银行对该生的信任程度只有0.239，所以，该生在以后购房、买车等

再向银行贷款时，将会有很大可能遭到银行的拒绝。

由于篇幅所限，我们仅列举了逆概率公式在现实生活中的应用的几个例子，事实上，逆概率公式在现实生活中的应用十分广泛。比如，在产品质量的检测、测谎仪、销售问题、寿命问题、预测与决策论等方面都有着非常重要的应用，有兴趣的读者可参看有关文献。

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