关注思维层次，经历数学提炼，落实核心素养一道模拟题引发的感想

关注思维层次，经历数学提炼，落实核心素养一道模拟题引发的感想

杨芳

上海市比乐中学 200025

试题呈现

已知 所在平面外一点 满足 ，

若 的面积为 ，则 的面积为

这是2015年上海徐汇二模中的一道模拟题，考察的是平面向量与三角形结合的问题，学生看到这道题束手无策，不知突破口在哪里，其实细看本题，抓住 ， ，可以得出点 的位置，再研究 与 的面积。

通过此题的分析，回顾与反思相融合，现将此题的思考与分析整理成文。并对教学中如何渗透核心素养做一下有益探索。

1. 回归教材是不变的主旋律。

高考命题的重要思想之一是“来源于教材，高于教材”。学生在学习过程中知识点间是分散的，独木难以成林。所以在解决问题的时候要引导学生注重知识的迁移与转化。在教学中教师不仅要加强应在典型问题的基础上尝试改变限定条件，这不仅可以提高学习数学的兴趣，而且可以提高学习的主动性、合作学习、探究学习能力，同时应注重引导学生对知识的总结，解题策略的总结，逐步达到知识和能力的考察更加综合化。如例1-例3题

例1.在 中， 为 的中点，则

_例2．在 中， 为 的中点，_,

_则

解：

例3._{若为的重心，，则}

解：

由以上3题的基础，回头看上述模拟题，会发现_,即 ,从而找到点P的位置，本题中考察的思想是划归与转化思想，将符号语言转化为图形语言。

2. 凸显数学学科理性思维

此题体现数学学科思维的缜密性、逻辑的严谨性、运算的准确性、表述的规范性。在突出考查数学核心概念和方法的同时，重视考查考生对数学本质的感悟。如果学生对 有较深刻的理解，不用太多计算，就可以得出结论，体现了“多想一点，少算一点”的理念。为了让学生加深对 的认识、理解与应用。教学中在例1-例3已掌握的基础上进行相关变式如例4-例5进一步拓展应用。

例 4．在 中， 为 的中点，过点 的直线分别交 、 于不同的两点 ，若 则

解： 根据平行四边形法则 可以得到

由于 三点共线，则得到

变式：设 是直线 外一点， 点 … 是线段 的 等分点，则 … 。

点评：本题考查向量加减混合运算的加减法则及几何意义，以及向量加法，减法满足的三角形法则。本题表面上与三角形无关，其实依然是在三角形中解决问题，利用平行四边形法则 ( 为 的中点)

例5．已知圆心为 ，半径为1的圆上有三点 ，若 ,

则

解 法一：因为 ，得到

两边平方,得到 根据余弦定理，得

解法二：设 ，如图所示，

分 别用 与 作数量积，可得

，得

根据余弦定理，得

解法三：平面向量的分解定理

因为 ，得到 ，

根 据平面向量分解定理得到 ,

所以 ，

可以得到

在 中，利用余弦定理得

在 中，利用余弦定理得

在 中，利用余弦定理得

变式：已知圆心为 ，半径为1的圆上有三点 ，若 ,则

点评：平面向量在三角形中与重心、外心、内心相结合是常见问题，对于这类问题一方面主要从平行四边形法则或三角形法则入手，引导学生从“形”的角度考虑问题，培养学生对于向量和与差的几何意义的敏感性。另一方面可以从“数”的角度考虑问题，对向量进行数量积或者两边平方进行运算。

3.注重核心素养 ，考查综合能力

在整题的分析过程中通过解题思路的多角度思考，探寻解题的切入点，通过一题多解，多题归一，拓展解题思路，掌握解题方法；培养学生对数学方法的选择意识，强化函数与方程、数形结合，参数法，数学运算等数学核心素养等思想，从而提升综合运用数学方法解题的能力。

4. 学科内在联系的相互融合

从学科整体意义和思维价值高度考虑问题，许多问题都强调知识间的交叉，多个知识点的教会，渗透和综合，尤其数学学科的内在联系和知识的综合性，这有利于考查学生对知识的综合理解能力，考察学生对所学知识的综合应用能力、迁移能力，有利于提高区分度，体现高考的选拔功能。

已知 （ ， ）， 与 轴交点为 ，若对于 图像上任意一点 ，在其图像上总存在另一点 （ 、 异于 ），满足 ，且 ，则 ₍2019年上海高考题12题₎

分析:本题根据题意对函数 分析之后可画出 大致图象，然后结合图象可不妨设点 在左边曲线上，点 在右边曲线上．设直线 的斜率为 ，联立直线与曲线的方程可得 点坐标，同理可得 点坐标．再分别算出| |、| |，再根据| |＝| |及 的任意性可解得 的值．

解：由题意，可知：

令_,解得 ：∴点A的坐标为：

则f（x）＝

∴ 大致图象如右图所示：

由题意，很明显 、 两点分别在两个分段曲线上，

不妨设点 在左边曲线上，点 在右边曲线上．

设直线 的斜率为

，则l_AP：

联立方程：

整理，得：

∴

∵ ∴

再将 代入第一个方程，可得：

∴点 的坐标为：

∴

∵ ⊥ ，∴直线 的斜率为﹣ ，则l_AQ：

同理类似求点 的坐标的过程，可得：点 的坐标为：

∴

∵|AP|＝|AQ|，及 的任意性，可知： 解得： ．

点评：本题主要考查对函数分析能力，根据平移对称画出符合函数的图象，采用数形结合法分析问题，以及用平面解析几何的方法进行计算，以及设而不求法的应用．本题是一道较难的中档题．

在关于函数图像变换的填空题中，既有提示信息也有冗余信息，需要学生在阅读时提取有价值的数学信息。在解决这个问题的过程中，学生既可以用常规方法求解，也可以运用光线的反射原理快速得出结论，体现了数学和其他学科的融合。

5.应用题背景取材更加生活化，现代化

数学来源于生活，应用于生活，这是数学问题的立命之本，脱离生活则失去其生存之根。所以在高考题中，一些生活化、时代话的问题，如垃圾分类问题，交通问题，环境污染问题，新能源问题等都受到青睐。如2019年全国1卷理科

第4题是一道选择题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题：

古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是（ ）（2019年全国1卷第4题）

A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm

解：头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，

由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是 ≈0.618，

可得咽喉至肚脐的长度小于 ≈42cm，

由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 ，

可得肚脐至足底的长度小于 =110，

即有该人的身高小于110+68＝178cm，又肚脐至足底的长度大于105cm，

可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，

即该人的身高大于65+105＝170cm，故选：B．

点评：本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题．

又如2019年上海高考第19题关于海岸线建设的应用题，较好地考查了考生直观想象和数学建模能力，体现了数学学科解决实际问题的价值。

如 图， 为海岸线，AB为线段， 为四分之一圆弧， km， ， ， .

（1）求 的长度；

（2）若 km，求D到海岸线 的最短距离. （精确到0.001km）（2019年上海高考第19题）

解：（1）由题意可得，BC＝BDsin22°，弧BC所在的圆的半径R＝BCsin ＝ ，

弧BC的长度为 ；

（2）根据正弦定理可得 ，∴

∴∠ABD＝180°﹣56.2°﹣58°＝65.8°，

∴DH＝BD×sin∠ABD＝35.750km＜CD＝36.346km

∴D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离为35.750km

点评：本题主要考查了利用三角函数，正弦定理求解三角形，还考查了基本运算．

结束之语：

数学是一门基础学科，数学教师的任务不仅仅是教给学生数学知识，更重要的是培养、发展学生的思维能力，感悟数学知识的生成过程，提高学生解决问题的能力。有效的教学不仅能提升教师组织课堂教与学活动的有效度，还能促进学生学习方式的转变，进而促进学生的可持续发展。教学中通过适切的情景创设与导入，要求体现所创设的情境对知识学习、意义建构、知识系统梳理及数学内在问题生成的重要促进作用。解题数学如果仅限于教会学生会解课堂上的题目，不能举一反三，学生就会陷入茫茫题海，造成思维固化，渐渐失去学习数学的兴趣。在教学中，只有注重引导学生深入探究问题的条件，分析条件和结论的内在练习，逐步培养学生转化与划归的思想，把握好每一类教学问题的本质，积累并掌握解决问题的关键所在，学生的思维能力、解题能力才会真正得到提升，学生的核心素养才能得到培养和发展，数学课堂才会正真做到少教多学、自主高效，才能真正做到肩负增效。