“数形结合”在解题中的应用——二次函数与平行四边形

“数形结合”在解题中的应用 —— 二次函数与平行四边形

郑晓利

陕西省西安市临潼区骊山初级中学 710600

摘要：二次函数是初中数学教材中非常重要的内容之一，是中考的必考内容。在中考考卷往往结合种数学容，将二次函数与四边形结合，提升思维综合度，使学生整个答卷在此出现分水岭，此题只要抓住解题要领对学生的解题能力起到了一定的锻炼作用。数形结合思想是数学函数解题中的法宝，利用数形结合来实现学生对数学题的直观认知，提高解题效率。本文首先阐述了数形结合在解题中的重要性，然后分析数形结合在解题中的应用，将二次函数与四边形进行有效结合，并进行解题思路的强调，点播学生进行解题，最后总结解题规律。旨在能够利用数形结合的思维进行题目的分析，从而实现数学题的分析，达到解题的目的，同时也可以加强学生数学思维能力的提升。

关键词：数形结合；二次函数；平行四边形

引言：数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”，数形结合是数学学习中解决函数问题常用方法。解题中经常会出现二次函数与四边形同时出现的题型。陕西中考中截止2020年前近10年考查了6次二次函数与特殊平行四边行，涉及平行四边形4次。让学生在解题中摸不到头绪，通过数形结合方法可以有效解决此难题。那么如何在初中数学解题中进行数形结合的应用呢，下面通过具体例题来进行分析和研究。

一、数形结合在解题中的重要性

数形结合指的是数字与图形进行有效结合，能够实现数形之间的转化，通过图形的展示让学生在解题中更加具有直观性，可以直接看到解题要点，有效提高解题效率。与此同时，通过数形结合思想还可以帮助学生打开数学解题思路，能够通过多种方法进行数学题目的运用，促进学习质量的提升^[1]。

二、数形结合在解题中的应用分析

陕西省中考对二次函数与平行四边形的考察非常重视，教师在教学的过程中可以通过对中考题目进行分析，在例题分析中对学生进行解题思维点拨，从而能够促进学生进行数学问题的思考，进而不断培养学生在处理二次函数与平行四边形的解题思路。在最后的过程中还需要对类型的问题解决方法进行大总结，这样能够让学生在遇到类似的问题可以随机应变，提高学生的解题能力。

例题1：如图1所示，在平面直角坐标系中的抛物线主要经过A、B、C三点，三点的坐标分别为（-1,0）、（3,0）、（0，-1）。

（1）请求解出抛物线的函数表达式；

（2）点Q在直角坐标系中的y轴上，点P是抛物线上的一个点，若想使得点Q、P、A、B为四个顶点的四边形为平行四边形，那么请问所有满足条件的P点坐标是什么？

图1

解：

为了更好地促进学生对二次函数与四边形问题的解决，教师需要在例题讲解中对学生进行点拨，主要通过课堂互动提问的形式对学生进行启发，从而帮助学生找到解题思路。

教师：“同学们，从图中我们可以看出此抛物线是什么函数？”

学生：“二次函数。”

教师：“二次函数的表达式应该怎么求？”

学生：“二次函数的表达式为y=ax²+bx+c，然后我们可以将A、B、C三点坐标分别代入进去，从而能够求出该抛物线的函数表达式为y=1/3·x²-2/3·x-1.”

当学生求出抛物线的表达式后，教师可以给学生一段时间进行第二个问题的思考，思考结束后进行习题的解析。

教师：“同学们，抛物线的解析式我们已经求出来了，而题目中给出的图我们也能够看得到，平行四边形QPAB中哪条边是不变的呢？”学生：“AB边的长度是固定的。”教师：“本题要求的是P点的坐标，而P点又在抛物线上，就这道题来讲，P点可能存在哪些范围内？”学生：“P点可能在A点的左边，也可能在B点的右边，也可能在A、B两点之间。”教师：“如果P点在两侧我们非常好进行理解，那么当P点在AB点之间时，如果Q点在x轴下方，就会形成梯形，而不是平行四边形，所以这种情况Q点只能在x轴上方，所以这时候是特殊情况，AB是平行四边形的对角线，这样我们就可以通过进行大致绘图，展示几种情况。”

图2

在已知的四个顶点中有两个点是固定的，就是A和B两点，为了求P点的坐标，我们可以将情况分成两类进行讨论。

第一种情况：AB作为平行四边形的一边

这时我们只需要保证PQ=AB，且PQ=AB=4就可以。题目中的已知条件告诉我们点Q是位于直角坐标系中的y轴之上，那么我们就可以缺点点P的横坐标为4或者是-4.将4和-4带入到抛物线表达式中分别可以求出y的值为5/3和7，所以当AB为平行四边形的边时P有两个点，分别为（4，5/3）和（-4,7）。

第二种情况：AB为平行四边形的对角线

这种情况需要保证PQ与AB互相平分，因为Q点在直角坐标系中的y轴上，并且我们从题目中的条件获知AB的中点横坐标值为1，所以我们可以知道点P的横坐标为2，然后将其带入到抛物线的表达式中可以求出y的值为-1，所以在AB为平行四边形的对角线时求出的P点坐标为（2，-1）。

综上，能够满足条件的P点坐标一共有三个，分别为P₁（4，5/3）、P₂（-4,7）、P₃（2，-1）。

教师总结：在进行二次函数和四边形的解题中，我们需要将图形和条件进行结合观察，首先应该将简单的问题进行解答，比如抛物线的解析式，然后再进行下面的分析。在分析中可以将情况分成几种，然后再分别进行考虑，这样会提高解题效率。

结束语：综上所述，数形结合思想在初中数学解题中具有非常重要的应用，在进行二次函数与四边形类型题的解题中能够为学生带来更加直观的感觉，有利于促进学生数学思维能力的提高，让学生在解题中找到思路，促进学生数学成绩的提升。在进行数形结合解题教学时，教师应该注重课堂互动与学生的思考，这样才能够达到更好的教学效果。

参考文献：

[1]吕淑华.初中数学数形结合解题思想的应用[J].教育界：基础教育研究（中），2015（12）：55-55.

[2]霍加敏.初中数学数形结合解题思想的应用分析[J].俪人：教师，2015（3）：137-137.

数形结合思想在初中数学教学的实践研究[J]刘远辉.西部素质教育 2016（24）