利用“构造函数”解决抽象函数与导数问题

利用“构造函数”解决抽象函数与导数问题

李博文

甘肃省会宁县第一中学730700

摘要：构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法。所谓“构造函数法”是根据问题题设和题目的结构特征构造辅助函数，将原问题转化为研究辅助函数的性质，凭借辅助函数的性质解决问题的一种方法。近几年各地高考数学试卷中，许多涉及抽象函数与导数的题目都要运用这种方法解决问题，使得这一方法成为一个热点。本文就这一方法的应用做进一步的总结，以期为高中学生提供一定的参考价值。

关键词：构造函数抽象函数与导数求导法则

一、引言

导数在高中数学占有很重要的地位，其求导法则的双向应用也就成为重点考查对象，尤其是逆向应用更能检验学生对公式的全面把握和灵活运用，因此以抽象函数为背景考查导数法则灵活应用的题目应运而生。下面通过几个例子总结构造函数法的应用。

二、构造和、差函数

应用法则：［f（x）±g（x）]`=f`（x）±g`（x）。

例1：（2015福建）若定义在R上的函数f（x），满足f（0）=-1，其导函数f`（x）满足f`（x）>k>1，则下列结论中一定错误的是（）。

A.f（）<B.f（）>

C.f（）<D.f（）>

解析：由已知条件可得：构造函数g（x）=f（x）-kx。可得g`（x）=f`（x）-k＞0，则g（x）在R上单调递增。又>0，则g（）>g（0），故f（）->-1，所以f（）>,故选C。

点评：导函数的正负决定函数的单调性。几种常见的构造和、差函数的方法：对于f`（x）>g`（x）,构造h（x）=f（x）-g（x）；对于f`（x）>a，构造g（x）=f（x）-ax。

三、构造积函数

应用法则：[f（x）g（x）]`=f`（x）g（x）+f（x）g`（x）。

例2：（2009天津）设函数f（x）在R上的导函数为f`（x），且2f（x）+xf`（x）>x2，下面的不等式在R上恒成立的是（）。

A.f（x）>0B.f（x）<0

C.f（x）>xD.f（x）<x

解析：由题可知：构造函数g（x）=x2f（x），则g`（x）=x［2f（x）+xf`（x）］，

当x=0时，由2f（x）+xf`（x）>x2得f（x）>0；当x>0时，g`（x）=x［2f（x）+xf`（x）］>x3>0，则g（x）在（0,+∞）递增，所以g（x）>g（0）=0,即x2f（x）>0,故f（x）>0。当x<0时，g`（x）=x［2f（x）+xf`（x）］<x3<0，则g（x）在（-∞,0）递减，所以g（x）>g（0）=0，故f（x）>0。

综上所述，选A。

点评：结合导数的运算法则，观察已知条件，构造积函数。几种常见的积函数的构造方法：对于f`（x）g（x）+f（x）g`（x）>0（<0），构造F（x）=f（x）g（x）；对于xf`（x）+nf（x）>0（<0），构造F（x）=xnf（x）；对于f`（x）+f（x）>0（<0），构造F（x）=exf（x）。特别地，注意式子中的“+”号。

四、构造商函数

应用法则：［］=。

例3：（2015新课标二）设函数f`（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x>0时，xf`（x）-f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是（）。

A.（-∞,-1）∪（0,1）B.（-1,0）∪（1,+∞）

C.（-∞,-1）∪（-1,0）D.（0,1）∪（1,+∞）

解析：由题可知：构造函数g（x）=，则g`（x）=。当x>0时，xf`（x）-f（x）<0，则g`（x）<0,所以g（x）在（0,+∞）递减；又函数f（x）是奇函数，故函数g（x）是偶函数，则g（x）在（-∞,0）递增，且g（-1）=g（1）=0，所以当0<x<1时，g（x）>0,则f（x）>0；当x<-1时，g（x）<0,则f（x）>0。

综上所述，选A。

点评：主要观察导数商运算法则等式右侧的分子，构造商函数。几种常见的商函数构造方法：对于f`（x）g（x）-f（x）g`（x）>0（<0），构造函数F（x）=；对于xf`（x）+nf（x）>0（<0），构造函数F（x）=；对于f`（x）-f（x）>0（<0），构造函数F（x）=。特别地，注意式子中的“-”号。

构造函数对于许多高中生来说还是一个难点，在解题过程中要善于观察题设条件与所求结论的结构特征，分析题设与结论间的联系，联想题目与已有知识结构的相似性，这样才能准确地构造函数。

参考文献

[1]李锋利用求导法则构造可导函数解题例析[J].数学通讯,2015,（Z2）。

[2]杨峰逆用导数运算法则,构造原函数巧解题[J].高中数理化,2016,（3）,20-20。