解析几何的变式训练

解析几何的变式训练

蒋文杰

四川大英县育才中学蒋文杰

现在的教学资源非常丰富，教学资料随手可得，用哪种资料，教师和学生都很难作出选择。高三数学复习不能在同一水平上简单重复，更不能使学生成为解题机器和知识的存储器。本文就高中数学的解析几何部分，谈谈数学复习中的变式训练。

例1原题求直线和坐标轴所围成的三角形的面积。（第二册上复习参考题七Ａ组第４题）

让学生仔细审题并借助图形、规范解题的格式（１）求出直线与两坐标轴的交点；（２）确定三角形为直角三角形，并确定两直角边长与两交点坐标之间的关系；（３）利用面积公式确定三角形面积。

变式（一）条件一般化

求直线和两坐标轴所围成的三角形的面积。

变式（二）改变背景

１．过点Ｐ（２，１）作一直线Ｌ与两坐标轴的正半轴分别交于Ａ、Ｂ两点，求面积最小值时，直线Ｌ的方程。（《3+2》第七章３６课时例４）

２．过点Ｐ（２，１）作直线Ｌ与Ｘ轴、Ｙ轴的正半轴分别交于Ａ、Ｂ两点

一道课本题通过变式，从特殊到一般，又改变背景将其推广，让学生真正感受到“源于课本，而高于课本”的深刻含义。课本题与资料题很自然地结合，使学生知道了知识的来龙去脉，使他们的认知产生了飞跃，通过不同的思路，提供多种解题方法既拓宽了学生的解题思路，又从不同的角度将已学过的知识加以复习，解题方法的多样化，活跃了学生的思维，使学生增强了解决问题的信心，进而又深化了数形结合、分类讨论、函数与方程等重要的数学系思想。这样将知识、能力和思想方法在更多的新情景、更高的层次中，不断地反复地渗透，达到了螺旋式的再认识，再深化，乃至升华的效果。通过一题多变、一题多解，多题一解的训练，激发了学生的兴趣和求知欲。所有的变式要鼓励学生从多角度去分析，选最优的方法去解决。

变式：变换条件和结论

直线L与抛物线相交两个交点的纵坐标为且，求证直线L过抛物线的焦点。

原题：过抛物线的焦点的一条直线与它交于两点P、Q，经过点P和抛物线顶点的直线和准线交于点M，求证直线MQ平行于抛物线的对称轴.（第二册上习题8?6第6题）

变式：变换条件和结论

设抛物线的焦点F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且轴，证明直线AC经过原点O。（2001年全国高考数学试卷第19题）

例3原题，图7－34是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到0.01m）(第二册上7?7例3)

变式：改变背景，抛物线形拱桥的跨度为20m，拱高为4m，建桥时每隔4m就立一根支柱，则最高的支柱高为m。（精确到0.01m）（《3+2》练习54第7题）

原题：图中是抛物线形拱桥，当水面在L时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水下降1m后，水面宽多少？（第二册上习题8?6第4题）

变式：变成应用题，一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过横断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为am,求使卡车通过隧道的a的最小整数值。

以上高考题和变式题是在课本题的基础上进行拓宽延伸而来，它不仅对圆锥曲线中的重点、难点内容——范围问题进行了深化，而且通过类比、重组，对向量、不等式、三角、函数等知识又进行了复习。激活、拓宽了学生的思维，使学生明确“任何事物都是相互联系的”。高考题、变式题的源泉都来自于课本，而解决这些问题（不论是钝角、直角、锐角，还是距离等）方法都是相同的。

在利用课本例、习题进行变式时，往往从以下方面考虑：一题多变，一题多解，一题多用，多题一解。这样有利于培养和提高学生灵活运用所学知识，有利于提高学生的应变能力，归纳猜想能力和创新意识。

这类题短小精悍，考察思想深刻，解题时要学会分析，会进行等价转化，会对参数进行讨论，它为学生创造性思维的发展提供了广阔的空间。

变式训练要有针对性，复习时，教师要借助于教材，根据学生对复习内容的掌握情况，引导学生去思考、去整理，要启发学生去找相互间的联系，去找解决问题的最优方案。变式要有层次性，不能跳跃太大，要让学生跳一跳就能够摘得到，要遵循从特殊到一般的原则，要注意知识的横向和纵向联系，使学生真正达到将知识学活、用活。变式既是一种重要的思想方法，更是一种行之有效的教学方式，如果我们在教学中能注重变式的训练，在高三复习时一定能起到事半功倍的作用。