偏微分方程求解方法及其比较

偏微分方程求解方法及其比较

曹海洋吕淑娟王淑芬

关键词：谱方法；偏微分；收敛；逼近；

1偏微分方程及其谱方法的介绍

偏微分方程主要借助于未知函数及其导数来刻画客观世界的物理量的一般变化规律。理论上，对偏微分方程解法的研究已经有很长的历史了。最初的研究工作主要集中在物理，力学，几何学等方面的具体问题，其经典代表是波动方程，热传导方程和位势方程（调和方程）。通过对这些问题的研究，形成了至今仍然使用的有效方法，例如，分离变量法，fourier变换法等。早期的偏微分方程研究主要集中在理论上，而在实际操作中其研究方法和研究结果都难以得到广泛的应用。求解的主要方法为：有限差分法，有限元法，谱方法。

谱方法起源于Ritz-Galerkin方法，它是以正交多项式（三角多项式，切比雪夫多项式，勒让得多项式等）作为基函数的Galerkin方法、Tau方法或配置法，它们分别称为谱方法、Tau方法或拟谱方法（配点法），通称为谱方法。谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。从函数近似角度看．谱方法可分为Fourier方法．Chebyshev或Legendre方法。前者适用于周期性问题，后两者适用于非周期性问题。而这些方法的基础就是建立空间基函数。

下面介绍几种正交多项式各种节点的取值方法及权重。

1)Chebyshev-Gauss:

2)Chebyshev-Gauss-Radau:x0=1,

3)Chebyshev-Gauss-Lobatto:x0=1,xN=1,

4)Legendre-Gauss:xj是的零点且

5）Legendre-Gauss-Radau:xj是的N+1个零点且

6）Legendre-Gauss-Lobatto:x0=-1,xN=1其它N-1个点是的零点且

下面介绍谱方法中最重要的Jacobi正交多项式其迭代公式为：

其中：

Jacobi正交多项式满足正交性：

而Chebyshev多项式是令时Jacobi多项式的特殊形式，另外Legendre多项式是令时Jacobi多项式的特殊形式。

2几种典型的谱方法

谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。谱近似可以分为函数近似和方程近似两种近似方式。从函数近似角度看．谱方法可分为Fourier方法．Chebyshev或Legendre方法。前者适用于周期性问题，后两者适用于非周期性问题。从方程近似角度看，谱方法可分为在物理空间离散求解的Collocation法、在谱空间进行离散求解的Galerkin法，以及先在物理空间离散求积，再变换到谱空间求解的Pseudo-spectral法。Collocation法适用于非线性问题．Galerkin法适用于线性问题，而Pseudo-spectral法适用于展开方程时的非线性项的处理。谱方法的特点是对光滑函数指数性逼近的谱精度；以较少的网格点得到较高的精度；无相位误差；适合多尺度的波动性问题；计算精度高于其他方法。快速傅立叶变化的提出大大促进了谱方法的发展，迄今已有各种的谱方法计算格式被提出．并被应用于天文学、电磁学、地理学等各种问题的计算。

下面介绍一下应用于各个区域的几种谱方法：

1）以Fourier谱方法为例介绍谱方法解方程的主要过程

以一阶波动方程为例：

其中u(x,t)为方程的解，L是包含u和u关于空间变量的导数的算子，除了方程以有初始条件和适当的边界条件。

故可设其中为试探空间的基函数，ak(t)为展开系数，对于傅立叶谱方法中的共轭有：

其中从而利用其正交性和周期性可以减少工作量，另外再结合边界条件就可以求出来。

2)Galerkin方法是谱方法中十分经典的解偏微分方程的方法，但还有其局限性，而利用Hermite谱方法中依赖时间的权函数对经典的Galerkin方法进行拓展后的新的方法能适用范围扩大了很多。它能很好的应用在微分方程最优控制问题有限元方法的分析中，并且如果能够灵活运用利用Chebyshev方法、Galerkin方法和配置方法，则会形成更强的计算方法。如将Tau方法的思想成功地应用于奇数阶微分方程Petrov－Galerkin谱方法。

3)在无界区域上谱方法和拟谱方法发展了以Hermite函数和Laguerre函数为基函数的正交逼近和插值理论，在这些结果的基础上发展了全空间和半空间上数理方程的谱方法和拟谱方法，从而形成一种新的能更好解决误解区域问题的方法，此种方法被很好的应用于统计物理、量子力学和流体力学中。

4)我们利用非一致带权Sobolev空间中的Jacobi多项式正交逼近和Jacobi-Gauss型插值理论，提出以Jacobi多项式为基函数的Jacobi谱方法和拟谱方法用来解决一些奇异问题和计算某些特定的无界区域问题。

5）有限谱方法是基于有限点、有限项的局域谱方法。这种方法要求近似函数应具有等同隔网格和非周期性的性质。有限谱方法分为基于非周期性傅立叶插值的有限谱法和基于截断傅立叶积分的有限谱法。

3谱方法的几个相关问题

1）谱微分快速逼近

函数的微分逼近形式是偏分方程数值解中的一个重要问题,它某种意义上决定了采用方法的实质。例如常见的差分方法是采用少数几个离散值组合来逼近函数在某点的微分值。离散点与微分估值点的位置是决定差分格式的重要依据。对谱方法,其情形与差分离散有所不同,对变量的谱方法微分逼近实质上是决定对应导函数展开序列的系数。一般正交函数均存在3项递推公式，它可以在谱微分逼近中加以利用。但利用3项递推容易出现舍入误差过度积累,导致计算不稳定,在涉及坐标变换时该问题显得更为严重。另一种计算谱微分的方法基于拉格朗日核函数,该方法主要针对拟谱方法。其关键是如何在一个简单的微分矩阵(三对角或者五对角等稀疏情形)基础上控制计算误差。微分逼近在基于样条函数的PDE配置方法以及观测数据导函数逼近中经常出现。

2）快速多极方法

快速多极方法(FMM)是目前较新的一种快速方法,起源于多体问题模拟,目前已被较广泛应用到工程计算加速中。基于拉格朗日核函数的序列估值及微分估值都可以使用FMM,FMM还可用于球谐谱计算中对勒让德变换的加速。FFT只适用于离散点等距的情况,而在谱方法计算中大多数情况的离散点是不等距的,特别是在复杂几何解域谱计算问题中,此时FMM可以作为FFT的替代。FMM的计算复杂度和FFT在量级上相同,但增加了一个很大的比例系数。

4结论

谱方法的计算量大大超过了有限差分和有限元方法,由于计算机速度的限制,谱方法的研究与应用曾一度处于低谷。近年来,在计算机技术、区域分解技术和应用需求的共同推动下,关于谱方法的研究和应用逐渐升温。目前,谱方法计算的大量研究和应用集中在谱元素方法、多域拟谱方法及其预条件和并行计算。由于基于区域分解的谱方法在并行计算中具有很小的通信计算比,特别适合于粗粒度分布式并行计算。随着谱方法计算研究的深入基于区域分解的谱方法在科学计算中的地位将显得愈来愈重要。

参考文献

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