数形结合做题“松合”

数形结合做题“松合”

李杨强

李杨强（西华师范大学数学与信息学院四川南充637000）

中图分类号：O17文献标识码：A

数学问题大多是研究实际生活中的问题，它是研究代数，几何等诸多问题的一门自然科学，对于高中数学来讲，培养学生数学思维，提高学生解答数学问题的能力。这是高中数学学习的一个很重要的学习目的，要提高这个能力，这样就要培养学生的思维能力，然而数学思维方法的培养，直接关系到数学思维能力的提高，关系到学生解题能力的提升，对于教师，直接关系到高中数学教学的结果。

常用的数学思想方法有：函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论思想，转化归纳思想就本文而言，对数形结合思想对高中数学做题做出微薄之见解，叙述数形结合思想对解题的妙用之处。

数学家华罗庚说过，型却数难入位，数却型少直观。在解决数学问题时往往从多个方面介入，多个渠道升入讨论，遇到问题时，采用数形结合的思想，做到代数问题几何功，数形结合两相通，会使学生解答数学题感到巧妙的效果。数形结合中将数与型结合，这里型主要代表，形状，函数图像等一系列的图像，下面将说明几种常见的数形结合在解答数学题的妙处。

一、解决函数问题

对于一些函数问题，我们可以借助函数图像的集合意义与数量特征的紧密联系来求解。如：求函数的最小值，并求相应的x的值。我们可以将函数的关系式整理，得到：

将其看成点A（x,0）到B（－2,1）和C（1，3）的距离和最短的问题。

如图：根据函数关系的几何意义，此问题转化为在x轴上求一点A，使最短。由于B,C在x轴的对称点c,,易得c,的坐标为。则可求得直线的方程为：4x+3y+5=0

二、运用数形结合思想处理不等式问题

一些代数的问题，如果直接从代数角度思考，会比较麻烦。那么如果此时将其与相关图形结合起来考虑，将会起到事半功倍的效果。

例：已知正数a、b、c、x、y、z且满足条件a+x=b+y=c+z=k，求证：ax+by+cz<k2,但从条件a、b、c、x、y、z是正数，a+x=b+y=c+z=k>0

可以联想到以k为边长的等边三角形,通过直观的几何图形,就很容易得出要证的结论.

则显然有:

即:ay+cx+bz<k2.这道题是用构造等边三角形的方法来完成的,其实还可以通过构造正方形或者正方体的方法来证明结论.可见只要思路通,则一通百通,由起初的荆棘丛生变得条条道路通罗马.

三、运用数形结合思想解决三角问题

三角问题是我们在整个数学学习当中常常遇到的问题，但有些三角问题用代数的方法很难解答，这时就可以尝试用数形结合的思想来解决，因为三角涉及到单位圆，涉及到数轴和三角函数图像，运用图形来帮助我们分析问题的本质，会很快的找到解决问题的途径。比如我们在证明：当已知一个角是锐角，证明：sinα＜α＜tanα时结合单位圆和数轴，画出三角所表示的图形，转化成比较图形中线段的长度就很容易了。

在有些时候我们会遇到在函数中引用三角，使函数变得复杂。使大家解答起来无从下手，但你要相信，万变不离其宗，抓住三角的本质特征，放开自己的思维定势，仔细观察。灵活的思考，找出其数形关系，你会发现数与形结合的如此完美。

例：求函数的最大值和最小值。

此题求函数的最值问题，有时分式中夹杂三角函数，看起来很复杂，此题可以将函数转化成用三角函数来表示y，即转化成但是我们观察到题目中的正弦和余弦函数，自然联想到单位圆。可不可以将原题变一下形，使其更加靠近我们想要的形式呢？答案是可以的。

解：将原式变形得这时联想到令使其构成点

P(cosx,sinx)和点A（－5，1）连线的斜率而P点为单位圆上的动点，即函数y的大小由动点P到定点A的斜率决定。

画出图像：

由P（cosx,sinx）在圆x2+y2=1上，据图知

所以我在做高中数学题时，应该打开思路，想到数形结合的种很好的数学思想方法。在解决一些用常规方法不能解决的数学问题时，会带来很好的解题效果。由于作者知识水平有限，如有不足之处，请予以指正。