有关直线三个“最多”问题的探究

有关直线三个“最多”问题的探究

赵爱明

在人教版七年级数学上册第四章第二节“直线、射线、线段”的教学中，运用不完全归纳法引导学生分析与直线有关的三个“最多”问题，通过渗透数形结合思想、分类讨论思想和归纳法，多法探析，归类总结，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，从而有效地挖掘学生的学习潜能，全面提高学生分析问题解决问题的能力。下面我们以师生互动，合作探究的方式展开相关问题。

经过同一平面内的n个点最多可以作多少条直线

师：经过平面内的一个点可以作几条直线？

生1：经过平面内的一个点可以作无数条直线。

师：很好。那么经过平面内的二个点可以作几条直线呢？你知道其中的道理吗？学生通过画图讨论后，有学生举手回答。

生2：经过平面内的二个点只能作一条直线，因为两点确定一条直线。

师：很不错。那么，经过平面内的三个点中的任意两点又可以作几条直线呢？经过同一平面内的四个点中的任意两点呢？

这个问题学生显然不太容易作出全面准确的回答，让学生画图分析讨论后，经过教师引导形成结论：经过平面内的三个点中的任意两点可以作一条或三条直线。如下图1所示，当这三个点在同一直线上时只能作一条直线；当这三个点不在同一直线上时，一共可作出三条直线，如图2所示。

师：刚才同学们通过画图分析讨论得到了一些很有意义的结论。那么同学们能否通过以上问题的结论归纳出经过平面内的n个点中的任意两点最多可以作几条直线呢？

此时问题已经由具体的形象思维过渡到抽象思维了，学生感到很困难，经过教师的进一步引导后得到：过平面内的n个点中的任意两点最多可以作■条直线。这一方面可由上面的几个问题进行归纳延伸得出；另一方面可以这样思考：点A、B、C…这n个点中在没有任何三个点在同一直线上的前提下，由点A可以向剩下的（n-1）个点各作一条直线，这样由点A发出的直线就有（n-1）条；同理由其中的每个点发出的直线均有（n-1）条，这样总共就有n（n-1）条直线。这其中由点A向点B所作的直线和由点B向点A所作的直线为同一直线，故重复了一次，其它的点的情况也是这样。因此，过平面内的n个点最多可以作■条直线。

同一平面内的n条直线最多有多少个交点？

师：同一平面内的两条直线相交有几个交点？能有两个交点吗，为什么？

生3：同一平面内的两条直线相交有一个交点，不能有两个交点。因为两点确定一条直线。

师：完全正确。那么同一平面内的三条直线相交能有多少个交点呢？画图试试。

学生经过画图、比较、讨论后，有学生举手回答。

生4：同一平面内的三条直线相交能有1个，2个，3个交点，如下图6、7、8所示。

师：同一平面内的四条直线相交最多有几个交点呢？画图试一试。

生5：同一平面内的四条直线相交最多有六个交点，如图9所示。

师：同一平面内的n条直线相交最多有多少个交点呢？

在引导学生对前面几个问题进行分析归纳后得出通式，并用不完全归纳法帮助学生理解：同一平面内的n条直线相交最多有■个交点。可以这样思考：若n条直线a、b、c…均不平行，则直线a与剩下的（n-1）条直线共有（n-1）个交点，其余每条直线也都是这样，这n条直线相交共有n（n-1）个交点。这其中直线a与b的交点和直线b与a的交点重合了一次，其余的直线交点也是这样，因此，同一平面内的n条直线相交最多有■个交点。

同一平面内的n条直线最多可将平面分成几块？

师：我们知道，平面内的一条直线可将平面分成二块，那么平面内的二条直线可将平面分成几块呢？画图试试。

生6：同一平面内的二条直线可将平面分成三块或四块，如下图10、11所示。

师：同一平面内的n条直线最多可将平面分成几块呢？这个问题同样比较抽象，有一定难度。教师在引导学生分析前面几个问题后帮助学生归纳出：同一平面内的n条直线最多可将平面分成（■+1）块。

总之，在数学课堂教学中，渗透数与形的灵活衔接，循序渐进，由浅入深，重视师生互动，开展合作交流，多法探析，归类总结，能有效地激发学生的学习兴趣，这种教学方法的确让学生非常喜欢，这能充分挖掘学生的学习潜能，其结果令人十分满意，也能起到事半功倍的学习效果。

作者单位：湖北省应城市蒲阳中学