浅谈分形几何与自然的和谐统一

浅谈分形几何与自然的和谐统一

张永辉

关键字：分形几何、自相似、分数维

我们人类耐以生存的自然界是极其复杂的，例如，山脉的连绵起伏、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、地球表面的坑坑洼洼等等，都表现了自然界中丰富多彩的现象。而我们接触最多的传统欧几里得几何学却把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的现实世界又是不规则的，并且是支离破碎的，它与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。而分形几何则提供了一种描述自然界这种不规则复杂现象中的秩序和结构的全新方法，因此分形几何又被誉为大自然中的几何学，

一、什么是分形几何？

什么是分形几何？分形几何就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一只羊身体中的一个细胞中的基因记录着这只羊的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本质，分形几何也是真正描述大自然的几何学。

二、分形理论的思想与自然的统一

分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支,又是一门新兴的横断学科。分形思想作为一种方法论和认识论,其启示是多方面的:一是分形揭示了整体与局部形态的相似,启发人们通过认识部分来认识整体,从有限中认识无限;二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序;三是分形从一特定层面揭示了世界是普遍联系和统一的；解释了存在的自相似与不断分形的构架，世界的分形与自相似全息的动力存在。而这一切正是我们研究大自然认识大自然所需要的方法和工具。

三、分形几何的研究对象与自然的和谐统一

分形几何是以非规则几何形态为研究对象，而不规则现象在自然界中是普遍存在的。如：从远处看到的曲曲折折的海岸线的形状、山脉的形状是不规则的，植物叶子的脉络是不规则的，人体毛细血管的分布也是不规则的，等等，我们大自然中存在的所有东西几乎都是不规则的，而分形几何研究的就是这些不规则图形中的规律性，他们的规律性主要体现在局部与整体之间具有一定的相似性。如近距离观看的山川和海岸线和整体的形状具有一定的相似性，分形几何就是在研究这些整体上看是杂乱无章的图形而局部和整体又具有相似性的不规则图形。

四、分形几何维数与自然的统一

维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，对于更抽象或更复杂的对象，只要每个局部可以和欧氏空间对应，也容易确定维数。但通常人们习惯于整数的维数。而自然界是数不仅仅只有整数，还有分数，根据欧氏几何的理论难到就不存在分数维数吗?分形几何恰恰弥补了这一空白。分形理论认为维数也可以是分数，即分维。这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

维数和测量有着密切的关系，下面我们举例说明一下分维的概念。

对于“寇赫岛”曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0(此曲线中不包含平面)，那么只有找一个与“寇赫岛”曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数了，所以存在分维。经过计算“寇赫岛”曲线的维数是1.2618……。

五、分形几何的美与自然的和谐统一

根据分形几何的理论所绘制的图形也处处体现了与自然的和谐统一，如下图利用计算机辅助技术绘制的分形图案“太阳”和“母爱”，其完美程度令人赞叹。让我们不得不重视分形艺术在美学中的价值。

太阳母爱

六、分形几何的应用与自然的和谐统一

分形几何学已在自然科学中得到了广泛的应用。如生物学中的克隆技术，它便是利用了生物个体中部分与整体的相似性来进行研究。还有在对物理学中布朗运动的研究中发现，布朗粒子的轨迹，是由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续，但又处处无导数的曲线。这种布朗粒子轨迹的分维是2，大大高于它的拓扑维数1。其次在人们对自然界研究的过程中发现处处都存在着分形对象。如一枝粗干可以分出不规则的枝杈，每个枝杈继续分为细杈……，至少有十几次分支的层次，就可以用分形几何学去测量。

我们的世界是分形的世界，我们耐以生存的大自然更是分形的大自然，我们要想和自然和谐相处，必须去了解它、研究它，要想透彻的研究自然，分形几何就是一个强有力的工具，因为分形几何它就大自然的几何。