从近年高考试题看数学高考复习

从近年高考试题看数学高考复习

高兴兵

高兴兵（湖北省宜城三中湖北宜城441400）

中图分类号：G623.5文献标识码：A文章编号：ISSN0257-2826（2019）08-094-02

从去年十月份开始到今年二月份结束，我分析了近十年来数学高考的试题情况，特别是近年来高考数学命题的趋势，以指导数学的高考复习对高考的数学复习，我认为应注意这样几点：

一、突出“三基”、“综合”与“联系”，强化解题规范

所谓“三基”，就是指基础知识，基本技能和基本数学思想方法。“三基”是历年高考的基调之一，复习时要抓住“三基”不放。在此基础上，注意各个独立知识点是的内在“联系”与“综合”，形成知识网络。高考题常常是在各个知识的交叉点上设计的。

如题1：直线y=2x关于x轴对称的直线方程为（）

A.y=-xB.y=xC.y=-2xD.y=2x.

本题是何等基础，却处于直线方程与点的对称性的交叉处。因此在高考数学复习中，要抓“三基”、“综合”与“联系”。做到既常抓不懈，又常抓常新；既“各个击破”，又“融会贯通”；既熟练掌握，又灵活运用。

在注意常规解法的同时，又注意研究特色解题，做到既掌握解题的“大法”、“通法”，又研究其“小法”、“特法”，多方考虑，纵横联系，从不同角度审视问题，以创新的意识指导解决数学问题。

如题2：已知长方形的四个顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)和D(0,1)，一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD，DA和AB上的点P2，P3和P4（入射角等于反射角）。若设P4的坐标为（x4,0），若1＜x4＜2。则tanθ的取值范围是（）。

A.（，1）B.（，）C.（，）D.（，）。

该题如果先写出入射线和反射线的直线方程再解（通法）不仅会很繁，也“不合算”，但是如果考虑到入射线和反射线的斜率是互为相反数（小法），那就会快一些，如果又考虑到点的对称性就显得更简单了（特法）。

数学高考题，即使是基础题，也有一定程度的灵活性和综合性。“逻辑性强，综合性高，解题要求严”是高考题的三个基本特点。所以在高考复习乃至高一高二的日常数学学习中，都应重视对基本数学素养的训练。

二、重视“数学思想”，抓好“能力立新”

数学思想方法，是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵于数学知识的发生、发展和应用的过程之中，是高考数学命题的凸显特点之一。“传授知识（掌握知识）”，“培养能力”，“方法渗透（即渗透数学思想）”是数学教学中由低到高的不同层次境界，“提高修养（即把数学文化及非智力因素的介入）”则是数学的最高境界。只有运用数学思想方法，才能把数学的知识与技能转化为分析问题和解决问题的能力，才能形成数学素质。

如题3：在某海滨城市附近海面上有一台风。据监测，当前台风中心位于城市O（如图，略）的东偏南θ（cosθ=）方向300km/h的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北450的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为600km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市受到台风的侵袭（不考虑台风是否增强或减弱）？

该题充分体现了数学的数据处理、数学建模、联系实际等数学思想和方法（事实上，本题还可以加强，比如台风侵袭该市的时间有多长等）。

数学高考的重点和永恒的主题是“能力考查和测试。”教育部已明确宣称：高考命题将从“以知识立意命题”向“能力立意命题”转变。1999年就在全国范围内征集了大量的“能力题”，并从2000年开始逐步予以运用，估计以后还会逐年增加份量。因此，能力的培养与训练是重中之重。但“能力”也必须更新，所谓“能力立新”，简而言之，就是“能力”要适应时代的发展，特别是要与改革开放的时代脉博相适应。具体地讲，就是要在抓好“四能”（即运算能力，空间想象能力，逻辑思维能力和分析问题解决问题能力）的基础上，注意“能力之细化”，如收集处理信息能力，语言文字表达能力，抽象归纳（猜想）能力等，注意“能力之组合”，如数学建模能力，综合联系能力，跨学科应用能力和创新能力等。

如题6：设｛an｝是集合｛2t+2s|0≤s＜t且s,t∈Z｝中所有的数从小到大排的数列，即a1=3,a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,a6=12，┅,将数列｛an｝各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下三角形数表：

3

56

91012

┅┅┅┅┅┅┅┅

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

(i)写出这个三角形数表的第四行、第五行的各数；

(ii)求a100

（附加题）设｛bn｝是集合｛2t+2s＋2r|0≤s≤t＜r,且s,t,r∈Z｝且中所有的数从小到大排列而成的数列，已知bk=1160,求k。

又如题7：“在平面几何里有勾股定理：设△ABC的两边AC，BC互相垂直，则AC2＋BC2＝AB2。拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面与底面面积的关系，可以得出的正确结论是：设三棱锥A－BCD三个侧面ABC，ACD，ADB两两相互垂直，则＿＿＿＿＿＿。

这两题就很好地体现了“能力立新”的重要性，具体包含了运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力、信息收集处理能力和数学建模、联系实际、知识创新等方面的能力。

三、注意命题新动向，加强应试能力训练

高考的总体思路是“稳中求进”和“注意考查能力”。说“稳”，就是说许多“常规题”是历年“不变”的，说“进”，就是每年均会推出一两个新题型，如前些年的存款利率问题，2001年的经济发展问题，2002年的汽车增量控制问题，都是与时代脉博相适应的新题型。2002年的“剪拼题”更是令人耳目一新，引起了数学界的普遍关注。因此，在复习时，一方面要做到保证“常规题”的“熟悉感”，另一方面，又要做好新题型的设想与训练。

四、扩展组合数学习题，构建知识网络

在复习时有意引导学生对书本或其他有关练习册中的习题进行变形、扩展和组合，是提高学生解题能力，灵活应用有关知识，达到正确快速解题的有效方法。作为老师更要注意这一点。我看到这样一题：球内接正三棱锥底面边长为a，侧棱长为b，求球半径。而在另一本习题集上有题：球内接四面体A－BCD中，三侧面ABC，ABD，ACD两两垂直，且AB＝AC＝AD，求球的表面积和体积。我把这两题稍加变化并合起来即得到了与今年高考几乎完全一样的题：一个四面体的所有棱都为a，四个顶点都在球面上，求此球的表面积（高考题中棱长为）。再如题：把集合｛3x+3y|x,y∈Z｝中的元素从小到大排列成数列，求第50项的数。我将此题与二项式定理中的杨辉三角合并，让学生练习，不想竞成了今年高考的压轴题！又如有题：已知等边圆柱的底面半径为，上底面⊙O的圆周上一点A,下底面⊙Oˊ圆周上一点C，AC的中点E，O/O的中点F，AC与底面成600角，求证：EF为异面直线AC,OˊO的公垂线并求出这两条异面直线的距离。我把等边圆柱改成正四棱柱再略作变化即为高考题。

要做到从容应对高考，加强应试能力素养的训练和培养是必不可少的。因此，要把每一次的阶段性检测当作高考的模拟训练，除在数学智力方面考查自己外，还应在非数学智力方面考查自己，如应变能力，考试心理，解题和书写速度等。只有这样，才能在高考进从容应付，考出较高的水平。