图像具有双重对称性的函数的周期性

图像具有双重对称性的函数的周期性

缪培红

缪培红甘肃省永登县二中

【摘要】在一些问题当中，给定的函数不是具体的，而是具有某种特定性质的抽象函数。像这种抽象函数，根据其性质可以知道有的函数的图像是具有双重对称性的。如果它们同时关于某两点对称，或者关于某两条直线对称，或者关于一点一线对称，那么这样的函数是具有周期性的特点的。本文将从以上三个方面分别阐述，并论证这三类函数周期性的特点和它们的规律。

【关键词】双重对称周期性

【中图分类号】G632【文献标识码】A【文章编号】1674－4810（2010）09－0146－02

一些函数的图像具有对称性，它们可以关于某一点对称，也可以关于某一条直线对称。如果一个函数的图像具有双重对称性，即同时关于某两点对称，或者关于某两条直线对称，或者关于一点一线对称，并且对称点在x轴上，对称轴是与x轴垂直的直线，那么这样的函数具有周期性的特点。下面就函数的以上情况分别加以说明。

一以点为对称中心、直线为对称轴的函数的周期性

如果函数y＝f（x）是定义在R上的函数，点P（b，0）是它的一个对称中心，直线l∶x＝a是它的一条对称轴（a≠b），试确定函数y＝f（x）的周期。

解析：由于点P（b，0）为f（x）的对称中心，故有f（b＋x）＝－f（b－x）。(1)直线x＝a为f（x）的对称轴，故有f（a＋x）＝f（a－x）。（2）

由（1）可得f（－x）＝－f（2b＋x）（3）（此时用－x代替b－x）

由（2）可得f（－x）＝f（2a＋x）（4）（此时用－x代替a－x）故有：

f（2a＋x）＋f（2b＋x）＝0，所以f（2a＋x－2b）＋f（x）＝0。

即：f（2a－2b＋x）＝－f（x）（5）（此时用x代替2b＋x）。

所以由（5）可得，f（4a－4b＋x）＝f［2a－2b＋（2a－2b＋x）］＝－f（2a－2b＋x）＝f（x）

即f［4（a－b）＋x］＝f（x）

可以看出函数y＝f（x）是以4（a－b）为周期的函数。如果点P（b，0）与l∶x＝a之间再没有对称轴或者对称中心，则4｜a－b｜为函数y＝f（x）的最小正周期。

例1，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x＋3）＝f（3－x），若x∈（0，3）时，其解析式为y＝2x，求x∈（－6，－3）时，函数f（x）的解析式。

解：由上面的分析可知f（x）是一个周期函数，且它的周期为12。因此当x∈（－6，－3）时，x＋6∈（0，3），所以f（x）＝f（x＋12）＝f［3＋（x＋9）］＝f［3－（x＋9）］＝f（－x－6）＝－f（x＋6）＝－2x＋6，即f（x）＝－2x＋6。

二以两条直线为对称轴的函数的周期性

如果函数y＝f（x）是定义在R上的函数，直线x＝a和直线x＝b是它的两条对称轴（a≠b），试确定函数y＝f（x）的周期。

解析：直线x＝a是f（x）的对称轴，有f（2a＋x）＝f（－x）。直线x＝b是f（x）的对称轴，有f（2b＋x）＝f（－x），所以有f（2a＋x）＝f（2b＋x），从而有f（2a＋x－2b）＝f（x）（此时用x代替2b＋x）。此时可以确定2（a－b）是函数y＝f（x）的一个周期。如果此时函数的两条对称轴之间再没有其他对称轴，那么2｜a－b｜是函数f（x）的最小正周期。

例2，设函数f（x）在R上满足f（2＋x）＝f（2－x），f（7＋x）＝f（7－x），且在闭区间［0，7］上，只有f（1）＝f（3）＝0。

（1）试判断函数y＝f（x）的奇偶性。

（2）试求方程f（x）＝0在闭区间［－2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论。

解析：由f（2＋x）＝f（2－x），f（7＋x）＝f（7－x）得函数y＝f（x）的对称轴为x＝2和x＝7。由上面结论可知函数y＝f（x）是周期函数，最小正周期为10。所以f（x＋10）＝f（x）。因为在闭区间［0，7］上，只有f（1）＝f（3）＝0，可得f（3）＝f（3－10）＝f（－7）＝0。而f（7）≠0，所以函数y＝f（x）既不是奇函数也不是偶函数。

由上面的解答可知方程f（x）＝0在一个周期内只有2个根（如在［－7，3）内有根－7，1）所以在闭区间［－2005，2005］上根的个数有401×2＝802个。

三以两点为对称中心的函数的周期

如果函数y＝f（x）是定义在R上的函数，点P（a，0）和点Q（b，0）是它的两个对称中心（a≠b），试确定函数y＝f（x）的周期。

解：点P（a，0）为f（x）的对称中心，有f（a＋x）＝－f（a－x）。（1）

点Q（b，0）为f（x）的对称中心，有f（b＋x）＝－f（b－x）。（2）

由（1）可得：f（－x）＝－f（2a＋x）；

由（2）可得：f（－x）＝－f（2b＋x）。

故有f（2a＋x）＝f（2b＋x），所以f（2a－2b＋x）＝f（x）（此时用x代替2b＋x）。

此时可以确定2（a－b）是函数y＝f（x）的一个周期。如果此时函数的两个对称中心之间再没有其他对称中心，那么2｜a－b｜是函数f（x）的最小正周期。

例3，已知函数f（x）＝Asin2（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）且y＝f（x）的最大值为2，其图像相邻两对称中心的距离为2，并过点（1，2）。

（1）求φ。

（2）计算f（1）＋f（2）＋…＋f（2008）。

解：（1）由上面结论可知函数y＝f（x）是周期函数，最小

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以上三种情况只是一个一般性的结论，但在具体解答问题的过程中，还必须有具体的论证过程。同时这样的结论也可以作为检验问题解答是否正确的依据，所以在应用的过程中必须好好把握，才能够做到运用自如。