应用几何画板提高学生的几何直观能力

应用几何画板提高学生的几何直观能力

许艳

北京师范大学朝阳附属学校 100012

摘要：几何画板是一个作图和实现动画的辅助教学软件，被一线教师广泛的应用于课堂教学，也被很多的学生所喜爱与接收.本文借助于几何画板解决数形结合的题目，重在体现几何画板在培养学生几何直观能力方面的价值，提高学生的数学核心素养.

关键词：几何画板 几何直观 数形结合

1. 几何画板在教学中的价值

2011年版《数学课程标准》中提出：学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性.新课程改革提倡从学会到会学，提倡“终身学习”、“主动发现”的学习方式，就是要培养学生的自学能力。而培养数学自学能力和探究能力很好的助手就是几何画板.

几何画板是一个作图和实现动画的辅助教学软件，被一线教师广泛的应用于课堂教学，也被很多的学生所喜爱与接收.目前人教版教材也加入了几何画板的内容，引导学生应用几何画板验证几何结论，把静态的几何图形动态化，在动态图形的变化中找到不变的规律，从而实现学生对几何图形变化中本质的认识.

几何画板让抽象的数学变得直观；几何画板让枯燥的数学变得有趣，有的学生因为几何画板而喜欢上数学；几何画板让学生理解几何图形的本质；几何画板让学生理解图形的形成过程；几何画板赋予学生更高的创造力。教师借助于几何画板，把抽象的数学知识直观化，把平时难以表达的动态数学图形直观的呈现在学生面前，提高了学生学习数学的兴趣，潜移默化的提高了学生对知识本质的理解.

二、几何画板在解题中的应用

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，2)，点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点.例如，图1中的Q为点P的一个离点.

1. 已知点P(0，3)，Q为P的离点.

①如图2，若B(0，0)，则圆心C的坐标为 ，线段PQ的长为 ；

②若B(2，0)，求线段PQ的长；

(2)已知1≤PA≤2, 直线l： （k≠0）.

①当k=1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为 ；

②记直线l： （k≠0）在 的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围.

题目分析：

此题属于比较难的题目，读几遍都不懂题目在说什么，都很正常.

这种题需要一字、一句读题，一边读题，一边画图，题目中静态图形不能很好的体现元素之间的关系，很多隐含的关键条件就会在读题过程中被忽略,所以采用几何画板画图,直观展示图形的变化。画图过程中，能够看出不管点B在x轴上的任何位置，⊙C恒过原点，因为∠AOB=90°，90°的圆周角所对弦是直径，且圆心的C 的纵坐标永远是1，即C在直线y=1上运动。此题中有两个不确定的点，B是x轴上的一点，P是y轴上一点，两个点都不确定怎么办.通常情况下，第一道小题，一是为了帮助学生理解离点的概念，二是为下面的题目做铺垫，所以要充分利用第一问.

预备知识：

1．勾股定理的内容是什么？

2．从圆外一点可以引圆的几条切线？

3． 是什么样的直线？

学习新定义：

学生自我提问：通过自己提问加深对概念的理解

（1）点A是定点还是动点？

（2）点B是定点还是动点？在哪里动？

（3）点P是定点还是动点？点P与点A在位置上有没有特殊的关系？

（4）点Q是什么点，位置上有什么特殊性？

定义初步应用：

①如图2，若B(0，0)，则圆心C的坐标为 ，线段PQ的长为 ；

②若B(2，0)，求线段PQ的长；

学生自我提问：

1. 此题中哪个点是固定点？

2. 当B在不同的位置，PQ的长分别是多少？

3. 由此能得出什么结论？(初步得出运动轨迹的几何模型)

预设：

（1）已知点P(0，3)，Q为P的离点.

注：此处点P的位置固定

1. 如图2，若B(0，0)，则圆心C的坐标为 ，线段PQ的长为 ；

注 ：此处B点固定得出答案：①（0，1）； .

2. 若B(2，0)，求线段PQ的长；

注 ：此处B点固定,但换了位置,结论会是什么？

如 图所示，所以EF= ，在 中，得到,PD= .

由以上两个小题，能够得出启示：

点P（0,3）固定，B在x轴上移动的过程中，PQ的长度是不变的，都是 ，能不能推出此时Q的轨迹是以P为圆心， 为半径的圆且在第一象限的部分。

2. 已知1≤PA≤2, 直线l：（k≠0）.

学生自我提问：

1. 已知1≤PA≤2是什么意思？由此你能推出P的位置吗？能得出P的坐标吗？

2. （k≠0）什么样的直线？

预设：

因为P在A点的上方，由此可以得出P的纵坐标范围：

直线l： =(x+1)k+3（k≠0）此直线恒过点（-1,3），也就是过（-1,3）点且随着k的变化而绕着此点转动。

1. 当k=1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为 ；

学生自己提问：

1. 当k=1时，你得出什么结论？

2. 哪些点是动点？哪些点是固定点？点Q在运动变化的过程中有没有不变的规律？

3. 点B的变化，对点Q的轨迹有什么影响？

4. 点P由（0，3）到（0，4）的过程中，点Q的运动轨迹是什么？

预设：

此时直线固定：y=x+4

题目的意思也就是P点在（0,3）与（0,4）之间移动，点B也在x轴上移动，此时P的离点Q的坐标的最大值.

P，B都在动，但是由（1）题，得出结论：P固定时，PQ固定，与点B位置无关，能不能由此推测：PQ的长度，至于P的位置有关，与B的位置无关呢？

下面试着给出证明：

设B（2a,0），P(0,m)，则CF=a，PF=

发现PQ的长度与点B的坐标是没有关系的，只与点P的坐标有关，可以把（1）题中的m=3带入上式计算得到 与前面的计算结果吻合，由此可以验证咱们的推测是正确的. 基于上面的猜测，下面给出此题的解法：

P(0,3)时，不管B怎么变化，Q在以P(0,3)为圆心， 为半径的圆上动，因为Q在第一象限，所以只要y轴右侧部分半圆. P(0,4) 时，不管B怎么变化，Q在以P(0,4)为圆心， 为 半径的圆上动，因为Q在第一象限，所以只要y轴右侧部分半圆.

所以，P(0,3)到P(0,4)时, 点Q的范围应该是在两个半圆中间的像月牙部分,如上图.

下面就看，y=x+4与两个圆中间月牙部分交点的最高点。如图所示：

看到k=1，就想到45°。

过Q 做y轴的垂线，构造斜边是 的等腰直角三角形，从而推出直角边是2.所以4+2=6.

即Q纵坐标的最大值是6.

2. 记直线l：（k≠0）在的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围.

提问：

（1） 在此题中起到什么作用？

（2）加上 后，Q点的轨迹有没有变化？

（3） 绕哪个点转动？在转动的过程中请你找出边界位置，分别画出图形,并求出边界点的坐标，求出此时k的值，

（4）写出k的范围

预设：

分析：此时的范围由原来的月牙形，进一步缩小. 不仅在月牙形内部，还要自直线x=1和直线x=-1中间(如图蓝色阴影部分).

（k≠0）在绕（-1,3）转动的过程中，与阴影部分边界点分别是 .由画图过程可以得出 , , ，把四个点的坐标带入 ，分别求出 的值.

所以：

所以：

综上所述： 或 .

几何画板动态演示，让学生更方便厘清思路，促进学生空间想象能力和想象图形运动变化能力.借助于几何画板把复杂的知识简单化，把抽象的知识直观化，把纸笔不能表达的内容呈现出来，实现了思维过程的展示，有利于学生对知识本质的认识，提高学生的数学核心素养.

参考文献：

[1] 沈忠良.几何画板与初中数学教学整合的实践应用 [J].课程教学研究,2015(11).

[2] 数学教学中学生创新思维的培养[J]. 杨麦秀!邮编:030001.  中学数学教学. 2001(04)

[3] 王岩,陈广.几何画板与初中数学教学整合的实践探索 [J].中国教育技术装备,2016(19)

[4]初中几何教学课件制作实例导航[M]. 人民邮电出版社 , 陈欣, 2004