幂、指、对函数图像增长差异的探究及应用

幂、指、对函数图像增长差异的探究及应用

徐振恒

江西省丰城市第九中学，江西丰城 331100

摘要：函数是高中数学中最基本、最重要的概念之一。它是高中甚至大学学习数学的基础，尤其是学习微积分。它就像一个环节，高中数学的各个分支紧密地联系在一起。

关键词：函数图像；增长差异；幂

引言：

毫无疑问，函数是许多知识聚合的核心，是多年来高考的热点，考试的内容主要有函数和反函数，函数的性质，指数函数和对数函数，以及这些内容所反映的数学思想方法。除了对单个函数的知识外，它还常常表现在函数和方程、不等式、函数和数列、函数和固体几何、解析几何、函数和导数的解中。

一、复习函数知识，应着重解决如下几类问题：

(I）解析公式函数、域和范围的简单函数、函数单调性和判断，并证明奇偶性方法、精确而具体的函数单调范围和函数的最大值和最小值： (2）精确地求出一些简单函数的反函数，并能利用图像的两个函数之间的反函数关系来解决问题； (3）掌握指数函数和单调函数的概念、图像和性质，能正确判断指数函数和对数函数的正确性，能充分执行指数运算和对数运算，能比较函数的值： (4）能利用函数、对数和对数函数的性质来解决一些简单的实际问题。复习函数知识的关键是运用数形结合的思想加深对函数（包括特殊函数）的理解，掌握函数的图像特征和性质，建立运动变化和广泛联系的观点，熟练运用函数的思想，善于抽象造型。

二、幂、指、对函数图像增长差异

在高考题中作为处理函数不等式问题的重要模型，高中数学人教A版必修1第101页对其进行了定性描述，在学习了导数工具后，我们可以对其进行定量研究。

原问题即等价于问题1：

证明：当α>0，α1，α2>1时，存在x。>0，当x>x。时，有α₁^x>x^α>log_α2^x。把问题1分为两部分：问题1(1)：证明：当α>0，α>1时，存在x₀>0，当x>x₀时，有x^α>log_α^x。问题1(2)：证明：当α>0，α>1时，存在x₀>0，当x>x₀时，有α^x〉为证明问题1(1)，采取由特殊到一般的策略：首先，证明引理1：证明：当x>0时，有x>lnx．

证明：记f（x）=x一lnx(x>0)，f（x）= ，令f（x）=0⟹x=1，当x∈(0,）)时f（x）<0，f（x）单调递减；当x∈(1，+）)时f（x）>0，f（x）单调递增。所以f（x）_min=，f(1)=1，所以f（x）≥1>0，即有x>：lnx．

引理2存在x₀>0，当x>x₀时，有x^α>lnx．证明：由引理1可知，当x>0时，有x >lnx ，即x > lnx，所以，当x>0时，x^α=x ·x >x 点 ·lnx，存在x₀=（ ） >0，当x>x₀时，有x > ，即有x^α=x ·x > x ，所以原问题得证。

根据换底公式，问题1(1）等价于：证明：当α>0，α>1时，存在x₀>0，当xx>x₀时，有x^α> lnx．利用引理2可得，存在x₀=( ) >0，有x^α> lnx。

问题1(1）得证．

问题1(2）证明：当α>0，α>1时，存在x₀>0，当x>x₀时，有α^xn>x^α。

为解决此问题，可以采取两边取自然对数，即原问题等价于证明：当α>0，α>1时，存在x₀>0，当x>x₀时，有xlnα>αlnx．即等价于证明：当α>0，α>1时，存在x₀>0，当x>x₀时，有x> lnx。由问题1(）)可知，当x₀=²>0，有x> lnx。

故问题得证．

所以，课本上定性描述的一个结论，通过导数工具得到了定量的证明．此结论成为我们思考函数不等问题的依据．例1(2014福建理科数学压轴题）已知函数f（x）=e^x一αx(α为常数）的图像与Y轴交于点A，曲线Y=f（x）在点A处的切线斜率为一1．

（I）求α的值及函数f（x）的极值；

(Ⅱ）证明：当x>0时，x²x；

(Ⅲ）证明：对任意给定的正数c，总存在x₀，使得当x∈(x₀，+∞)，恒有x²x．此问题（Ⅲ）即为本模型的应用：此题最大的问题是无法解不等式x²x，要把此“超越”不等式变成可求解的不等式，最佳途径就是把e^x用x^α替代．能否用e^x替代x^α“呢？这个由本文的结论可知：一定存在。>0，当x>x₀时，有e^x>x^α“．综合（I)(Ⅱ)，选择证明ee^x>— x³，原问题即可得到解决。

例2(2016佛山一模）设常数λ>0，α>0，f（x）=

-αlnx．

1. 当α= λ时，若f（x）的最小值为0，求λ的值；

(Ⅱ）对于任意给定的正实数λ、α，证明：存在实数x₀，当x>x₀时f（x）>0．

在第（Ⅱ）中如何找到对应的x₀，我们优先考虑的是把超越不等式变为有理函数对应的不等式问题，能不能做到呢？此时这个结论就为我们的思考提供了方向：我们尝试找一个开口向上的二次函数作为目标，因为〉> =x-λ，所以-αlnx≥一αα 即可，也即是需要llnx≤ ，由结论可知一定可以成立的，故原问题可变为：对于任意给定的正实数λ、α，证明：存在实数x₀，当x>x₀时，x-α -λ>0．此问题可以通过解一元二次不等式得到．

参考文献：

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