初中数学课堂教学案例赏析——《平方差公式》

初中数学课堂教学案例赏析 ——《 平方差公式 》

李婉侨 张晗

沈阳师范大学 辽宁沈阳 110034

一、教学案例选取

本文选取“一师一优课”网站上的省级优秀课——邹含老师的《平方差公式》；本节课为七年级下册第一章第五节的内容。

平方差公式这节课是初中数学教学中多项式乘法运算中的重要的内容，它可以直接利用多项式与多项式相乘的乘法运算法则得出，本节课目的在于培养学生的观察、归纳、概括等能力观察、归纳、概括等能力，通过几个具体题目，使学生在计算的过程中发现规律，并用自己的语言进行表达，学生在发现规律后，还应通过符号运算对规律进行证明。

二、教学案例实录

本案例的教学过程如下 :

（一）实录片段一：导入新课

师：上节课我们学习了多项式乘以多项式，那么(a+b)(m+n)等于多少呢？

生：等于am+an+bm+bn

师：大家能不能完成下面四个式子的计算，看看谁能算的又对又快。有没有愿意上台板书的？

① (x+3)(x-5)；  ② (x+1)(x-1) ； ③  (2y+1)(2y-1)；④  (a+b)(a-b) ；

（四名学生上台板演。）

【评析】：教师首先通过提问多项式乘以多项式来回顾前一节课的知识，再给出四个多项式相乘的式子让学生进行计算，通过这四道小题的热身，从特殊的式子出发，为学生后续对平方差公式特征的探究做一个铺垫。

（二）实录片段二：探究新知

师：下面就要给大家布置一个小组任务了，通过你刚刚算的这些题目的答案，观察一下，以下这几个问题：

1. 观察上述计算结果有什么特征？

2. 是否每个式子的计算结果都有这种特征？

3. 什么形式的式子具备这种特征？

学生进行小组讨论。

生：除了第一题以外，其余三个式子都具备同一个特征，拿第二题作为例子，假如x为a的话，1为b的话，他们的特征就是(a+b)(a-b)=a²-b²。

师：他说的意思是对的，那么有没有同学能够比较一下说一下结果呢？

生：两个数的和乘以两个数的差的结果为两个数的平方差。

师：非常好，那么也就是说，我们以后碰到两数和乘以两数差的这种式子的形式，我们用符号语言来表示为(a+b)(a-b)=a²-b²。这也就是我们今天要学习的平方差公式。

师：我们刚刚是从数的角度发现了这样一个规律，大家能不能想办法从形的角度上来验证一下平方差公式呢？比如说，看这个式子的右侧为a²-b²，一说到a²，大家能联系到几何上的什么？
生：正方形的面积。

师：那a²-b²你能联想到？

生：大正方形减小正方形。

师：好。那么我们看一下，导学案上的这两个图是如何验证我们的平方差公式的呢？给一分钟的时间，相互之间讨论一下。

生：左边第一个图形的面积为大正方形的面积减小正方形的面积，为a²-b²，然后将图形的下面的部分移动到上面的右边，就变成了一个长方形，面积相等。

师：那么就是说我们需要找到这个长方形的长和宽对么？

生：对。长为a+b，宽为a-b。

【评析】教师首先引领学生从平方差公式的数的角度进行探究：从特殊的式子出发，归纳总结平方差公式的特征。在问题设置上，教师引导学生从式子左侧向右侧逐渐观察，并归纳特征。对公式关键特征进行彩色标注。通过公式的几何意义除此之外，教师为了帮助学生加深理解（由平方想到面积），代数问题几何化。从公式右侧入手，由平方联想到正方形面积，由平方差想到两个正方形面积相减。

（三）实录片段三： 应用新知

师：学了这个平方差公式之后，我们就要学会用公式啦。先看看，这三个公式吧，你有没有信心进行口答。

生：有。

1. (x+2)(x-2)；（2）(5+y)(5-y)；（3）(2m+3)(2m-3)；

生：第一个等于x的平方减去2的平方，等于x²-4。

生：第二个等于5的平方减去y的平方，等于25-y²。

生：2m的平方减去3的平方，等于4m²-9。

师：好，下面我们要见的这几个式子就有点调皮了。大家讨论一下，看看他们能不能用平方差公式。

① ; ② ;

③ ; ④ ;

生：③和④可以。

师：为什么①和②不可以用呢？

生：第一个和第二个式子中的两个项都是减，

生：我们发现第三个和第四个两个式子中都可以化成两个数的和乘以两个数的差的形式。而第一个和第二个不能。

师：那么也就是说，看一个式子能不能化成平方差公式，我们还是要回归到公式的本身。来看一下我们公式的本身具有什么特征。

生：有一个符号相同的数，和一个符号相反的数。

师：对，那么也就是说，是不是我们能在式子中找到一个相同符号的数，一个相反符号的数，我们就可以套公式啦。

生：是。

师：那么再来看刚刚的式子。平方差公式中的a和b只是泛指，那可以代表什么呢？

生：既可以代表数，也可以代表字母，还可以代表式子。

【点评】：邹含老师首先通过小试牛刀带领学生简单应用平方差公式，在用“思考”的题目加深难度，引导学生发现平方差公式的本质特征。即：一个相同符号的数，一个相反符号的数。通过前面的增因式变化为探索平方差公式本质搭好了桥，让学生了解到平方差公式的高级用法：如何构建平方差公式将式子化繁为简。进一步培养学生应用公式的意识。另外，题目的设计，为了让学生及时掌握总结的知识点，加深印象，强化学生应用公式的能力，具有针对性和层次性。

3. 本教学案例的可借鉴之处

《平方差公式》这节课的教学重点和教学难点为帮助学生理解结构的不变性和字母的可变性，本案例中邹含老师依据课程标准，从本节课的教学目标出发，让学生充分理解和体会结构的不变性和，字母的可变性，基础目标得以达成取得了初步的成效。

1.从教学过程中可以看出，教师课前准备充分，教学环节设计合理充实，具有很强的实用性。

2.新课导入环节充分考虑了学生的学情，整节课中都能围绕学生的已有的学习经验进行数学教学。例如：本节课的开始先复习了多项式的乘法，再通过四道小题的热身，从特殊的式子出发，为学生后续对平方差公式特征的探究做一个铺垫。

3.激发学生探索欲。在尝试发现、探究新知环节，邹含老师通过公式探索和几何探索两个探索环节，让学生小组合作共同探索规律，得出平方差公式，既激发了学生的探索欲，又让学生体会平方差公式的结构性。

4.选题合理，具有针对性和层次性。邹含老师通过知识深化应用新知、能力提升深化新知、拓展训练超越自我这三个环节的设计，将题目层层递进，有基本运用公式，有变式运用公式，也有适当的加深应用，满足了不同层次的学生的学习。

5.学生的自主性。在邹含老师的整个教学过程中，充分体现了以点拨为主的教学。对于公式的性能严格要求学生理解。

这一教学案例不能看作是初中数学课堂教学中的培养学生创新意识的的典型案例，本案例中一些教学环节是值得肯定的，但一些环节还需要进一步改进完善。但这节课更为真实地反映了目前初中数学教学中的现状，值得我们去借鉴反思。