全概率公式与贝叶斯公式的应用及推广

全概率公式与贝叶斯公式的应用及推广

龚青青 王家琰 山西省朔州市应县第六中学 山西 朔州 037600 山西省朔州市 应县第一中学 山西省 朔州 037600

摘 要：全概率公式与贝叶斯公式是概率论中两个重要的公式,在实际中有广泛的应用.本文对“全概率公式及贝叶斯公式”进行仔细分析,用例子说明了它们的用法.另外在推广方面,给出了给出了事件发生概率的矩阵表达式.

关键词：全概率公式; 贝叶斯公式; 应用; 推广

引言

一个随试验的样本空间都可以找到有限个或可列个基本事件构成一个分割，任一复合事件都可以由这几类基本事件组合而成．如：有 个袋子，各装有白球和黑球，任意选取一袋，取出一球，则 取出一球为白球 这一事件，可由 从第一袋中取出一球为白球 ， 从第二袋中取出一球为白球 ， ， 从第 袋中取出一球为白球 任意复合而成．对这类问题从概率上表达时发生可能性之间关系的公式就是全概率公式，与其互逆的即为贝叶斯公式．

1.全概率与贝叶斯公式

1.1全概率公式

1.1.1 公式简述

全概率公式的内容简述如下：

设事件 (或 )为样本空间 的一个分割或完全事件组，即满足：

(1)

(2) (或 )

则对 中任一事件 ，有

或 　 （1.1.1）

证明 ，且 互不相容

所以又由可加性可得

再将 代入上式即得（1.1.1）式．

分析 (1)从形式上看，公式的右边 比左边 复杂，实质上，定理中给出的条件 任一 事件 往往很复杂，要直接求出 的概率 很难．若能把事件 分解为许多简单的，互不相容的事件之和，且这些事件的概率可求，则求出 就简单多了．从上面的证明看，也可以看出这个思路．所以，应用全概率公式解实际问题关键是从已知条件中找到有限个或可列个事件构成一个分割，并且公式中一些事件的概率和条件概率能从题设中求得．它体现了 各个击破，分而食之 的解题策略，有众多应用．从下面几个例子中可以加深对它的了解．

(2)全概率公式的最简单形式：假如 ，即 构成样本空间的一个分割，则

(3)条件 为将本空间的一个分割，可改成 互不相容，且 ，则（1.1.1）式仍然成立．

1.1.2 应用例证

例1 (摸奖模型)设在 张彩票中有一张奖券,求第二人摸到奖券的概率是多少?

解 设 表示 第 人摸到奖券 ,

因为 是否发生会影响到 发生的概率,有

同时 是两个概率大于 的事件，

可由全概率公式得

同理可得

这说明，抽奖时，不论先后，中奖机会是均等的．

1.2贝叶斯公式

1.2.1公式简述

在乘法公式和全率公式的基础上可推得一个很著名的公式，这就是贝叶斯公式。简述如下：

在全概率公式相同的条件下，有

故

再把全概率公式代入，即有

这个公式称为贝叶斯公式．

1.2.2要点

对贝叶斯公式，假定 是导致试验结果 的原因， 称为先验概率，它反映了各种原因发生的可能性的大小，般在试验前已确定．条件概率 称为后验概率，它反映了试验后对各种原因发生的可能性的大小．贝叶斯公式主要用于由结果 的发生来探求导致这一结果的各种原因 发生地可能性大小．即专门用于计算后验概率的．通过 的发生这个新信息，来对 的概率作出的修正，下面的例子可以很好地说明这一点．

1.2.3 应用例证

例3 飞机坠落在甲、乙、丙3个区域之一,营救部门判断其概率分别为 用直升机搜索这些地域,若有残骸,发现的概率分别为 ,若已用直升机搜索过甲区域,在这种情况下,试计算飞机落入甲、乙、丙3个区域的概率.

解 以 分别记飞机落入甲、乙、丙3个区域,依题意得

再以C记用直升机搜索过甲区域未发现残骸，则

P(C)= = ，

从而所求概率为

= = ，

= =

= =

分析 得到部分信息后对先验概率重做评估是贝叶斯公式的典型应用

2.推广全概率公式和推广贝叶斯公式的矩阵表示

2.1.推广全概率公式的矩阵表示

2.2 推广贝叶斯公式的矩阵表示

设事件 互不相容,且 ,在事件 中的 (i = 1 ,2 , ⋯,m) 只能与事件 之一同时发生,则在事件 (i=1,2,…,m)发生的条件下,事件 (j=1,2,…,n)发生的概率

将所有的 排成如下矩阵,则由矩阵的运算,有

容易证明

2.3 应用例证

例5 某厂有号码1、2、3的箱子个数分别为 其中1号箱子装有一等品 件，二等品 件，三等品 件，2号箱子装有一等品 件，二等品 件，三等品 件，3号箱子装有一等品 件，二等品 件，三等品 件，现任选一个箱子，并从中任取一件，问取出的是一等品、二等品、三等品的概率各是多少？

解 设 ：“取出的一件是j号箱的”(j=1，2，3)，且

A: 取出的一件是一等品

B: 取出的一件是二等品

C: 取出的一件是三等品

由条件知P( )= (j=1,2,3)

例6 炮弹爆炸时产生大、中、小三种弹片,这三种弹片击中坦克的概率依次分别为0. 1 、0. 3 、0. 6 ,若这三种弹片击中坦克,则其击穿坦克的概率依次分别为0. 9 、0. 2 、0. 05 ,已知坦克被弹片击穿,求坦克被大、中、小弹片击穿的各情况的概率．

解：设B：“坦克被弹片击穿”

:“大弹片击中坦克”，则 =0.1

:“中弹片击中坦克”，则 =0.3

:“小弹片击中坦克”，则 =0.6 且 =

＝0.9, =0.2, =0.05

P(B)＝P( ) ＋P( ) ＋P( )

＝0.1×0.9＋0.3×0.2＋0.6×0.05＝0.18

所以

＝

＝ ＝ .

参考文献:

[1] 峁诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社,2005.

[2] 李贤平,沈崇圣,陈子腾.概率论与数理统计[M].上海: 复旦大学出版社,2003.

[3] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)[M]. 北京：高等教育出版社,2003.

[4] 庄建红.全概率公式、贝叶斯公式的推广及其应用[J].辽宁省交通高等专科学校学报:自然科学版,2003.

[5]过晓芳 全概率公式和贝叶斯公式教学方法研究[J].《科技信息》.第21期.2010

[6]张丽,闫善文,刘亚东.全概率公式与贝叶斯公式的应用及推广[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版,2005(1):15-17.