用构造图形法证明不等式

用构造图形法证明不等式

齐元赋

山东省淄博市 沂源县鲁村中学 256104

摘要：本文通过几个实例介绍了不等式的证明方法之一：构造图形法，以及如何利用构造图形法来证明不等式。

关键词：不等式的证明，构造图形法

正文：

不等式的证明是中学数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活.中学数学着重讲了三种证法:1比较法、2分析法、3综合法。此外，还有反证法、数学归纳法、放缩法、换元法等.本文通过几个实例，来说明证明不等式时常用的另外一种方法——构造图形法.

1. 证明 √【（x-1）²+（y-1）²】+√【x²+y²】≧√2

分析：此题，直接利用不等式性质去证，也可以，但不是那么简单明了。根据平面内两点的距离公式，若注意到题目的左端中√【（x-1）²+（y-1）²】实为坐标平面内（x，y）及（1,1）的距离，√【x²+y²】是（x，y）及原点（0,0）的距离，不等式右端√2是（0,0）及（1,1）的距离，于是可画这样的几何图形：

在平面直角坐标系中，令点（1，1）为A，（0，0）为O，任取一点B，其坐标设作(x,y)(如图)。则OB=√[x²+y²]，AB=√【（x-1）²+（y-1）²】，OA=√2.于是，不等式的证明转化为这样一个几何问题：在平面直角坐标系中，已知点O（0,0），A（1，1），任取一点B（x，y），求证AB+OB≥OA。又可知点B与点O、A的位置关系有且只有如下三种情况（如图）：

第一种情况 第二种情况 第三种情况 第一种情况：点B不在直线OA上，即点O、A、B不共线，此时AB+OB＞OA.

第二种情况：点B在线段OA或线段AO的延长线上，此时AB+OB＞OA.

第三种情况：点B在线段OA上，此时AB+OB=OA.

综合以上三种情况，得知AB+OB≥OA.从而问题得证。

证明：在平面直角坐标系中，取点A（1,1）、O（0,0），在任取一点B（x，y），则点B与点O、A的位置关系有且只有三种（如图）：

在第一种情况下，AB+OB＞OA.

在第二种情况下，AB+OB＞OA.

在第三种情况下，AB+OB=OA.

总之有：AB+OB≥OA.

根据平面直角坐标系中两点间的距离公式，得

AB=√[(x-1)²+(y-1)²] OB=√[x²+y²] OA=√2

所以得：√[(x-1)²+(y-1)²]+ √[x²+y²]≥√2

例2证明 x²+xz+z²＞0，其中x、z是实数，x、z不同时为0.

证明：分两种情况：

1. 1. z=0时，因为x、z不同时为0，所以x≠0，所以x²+xz+z²= x²＞0

   2. z≠0时，令y= x²+xz+z²，对于z的任一确定的值，z∈R，y是x的二次函数，其图象是一抛物线。

因为x²的系数为1不等于0，所以抛物线y= x²+xz+z²（z值确定）开口朝上，

又∵△=z²-4z²=-3z²＜0（z≠0），∴关于x的方程x²+xz+z²=0无实数根，抛物线y= x²+xz+z²（z值确定）与x轴无交点（如图）.

由图形知y＞0，即x²+xz+z²＞0.

综合（1）、（2）两种情况，得x²+xz+z²＞0.证毕.

例3求证：1/2（a+b）≥√ab，a，b都是正实数.

证明：作线段AC=a，延长AC至B，使CB=b，以AB为直径作圆，过C点作PC垂直于AB，交圆于P点,连结PA,PB（如图）：

因为：AB为直径，所以，∠APB=直角，而PC⊥AB，根据射影定理，得：

PC²⁼AC*BC，而AC=a，BC=b，∴PC²=ab，即PC=√ab

根据图形：1/2（a+b）=1/2AB=半径

而 1/2AB=半径≥PC

所以 1/2（a+b）≥√ab. 证毕

从上面几个例子可以看出：有些不等式的证明问题若用构造图形法去证，常常变得直观、简洁. 用构造图形法去证明不等式的关键，是根据题目的意义，画一个或几个图形，从而将不等式问题转化问几何问题或者可以借助几何解释，从而使问题得以顺利解决。

其中例一和例二可以看作是解析法的倒用。我们知道：在一些几何问题中，我们可以设立恰当的直角坐标系，设出一些点的坐标，从而把几何问题转化为代数问题，利用代数的方法来研究解决问题，这是解析法。而例一例二解法的方向与之正好相反，这种解法是：借助直角坐标系，把一些代数式、方程等转化为几何图形，将不等式问题转化为几何问题，利用几何方法使问题获得解决。