“FAST”旋转抛物面的形状调节优化研究

“FAST” 旋转抛物面的形状调节优化研究

丁玉硕 肖梵 董传盛 杨晶

山东协和学院 山东省济南市 250109

摘要；本文是针对2021年全国大学生数学建模大赛A题问题一的建模与求解，“FAST”的镜面是中国技术团队首创，本文主要通过建立旋转抛物面调整模型，来精准控制促动器来调整反射面形成理想的抛物面，使馈源舱接收比最大,从而形成理想抛物面。针对问题一，首先建立一个以球心C为坐标原点的直角坐标系，找到一个特殊的节点；将这个特殊点代入建立的抛物线方程可以得到一条处于工作抛物面和基准面上的抛物线，最后使用MATLAB将这条抛物线旋转180°，从而找到理想抛物面，以及相对应调整后的主索节点编号、位置坐标和促动器的伸缩量。

关键词 旋转抛物面调整 反射面精度调节

一、模型建立与求解

由图1可知基准面的口径为500米，半径为 300 米的半球形，工作抛物面的半径为 300 米，由附录7（连接主索节点与促动器顶端 的下拉索的长度保持不变促动器的径向伸缩范围为-0.6—+0.6）可知，工作抛物面与基准球面内侧最大相差0.6米且工作抛物面最低端和工作抛物面的两侧均与基准面重合，进而可知工作抛物面的焦距为0.466。

图 1 当天体S位于基准球面正上方时基准态和工作态的关系图

图 2 反射面变位调整距离图像

在研究理想抛物面和基准球面时，发现它们都具有相同的物理性质。即在研究问题时，可以把问题简化在二维空间，可以在以基准球面球心建立抛物线公式

上式中的x为坐标轴横坐标，z为坐标轴竖坐标，p/ 2为焦点p到最低点的距离， R为工作抛物面的口径为300米,，h为抛物面最低端与基准球面得距离，由于与基准球面相重合故h=0。

由图3可得，馈源舱p为基准球面的焦点，可将基准态球面的截面视为在三维平面内的一条在XOZ平面内的抛物线Q1，工作抛物面可设为Q2。

图 3 FAST剖面示意图

由于Q1与Q2在中心最低点处相重合，则两条抛物线的焦距p均为0.466R，根据抛物线公式 和C点为坐标原点，h为抛物面最低点与基准球面得距离，由于与基准球面相重合故h =0。又因促动器调节主动反射面时，主动反射面 主要可向三个方向变化，因此在查阅资料后得出下列公式：

所以在附件一内可以找到抛物面最低点和基准球面相重合得一个特殊点（0，0，300.4），将特殊点的坐标（x =0，y =0，z =300.4）代入抛物线方程得到公式：

将上式所得出的抛物线绕Z轴旋转180°可以得到公式：

图 4 理想抛物面示意图

把 XOZ 面上的抛物线 绕Z轴旋转，所得曲 面为旋转抛物面[4]，如图4所示，即所得到得理想抛物面为 。

二、模型评价

模型优点：对理想抛物面分步建立，更加贴近真实情况；可以减少运动的次数与主索节点的数目；减少施工量，从而节省施工成本。

模型缺点：由于缺少实地经验，所以对于理想抛物面的求出过于简化存在一定的误差。

参考文献

[1]杜敬利,段宝岩,保宏,訾斌.基于最小二乘方法的索网反射面形状精度调整[J].工程 力学,2008(01):203-208.

[2]简幼锋.索网结构的力学分析与网面调整研究[D].西安电子科技大学,2011.

[3]王志远. 基于迭代学习理论的 FAST 整网控制策略的研究[D].东北大学,2015.