论数学客观题的解题技巧

论数学客观题的解题技巧

林以状

浙江省温州市南浦实验中学

【摘要】问题的提出与解决，是数学始终充满活力地发展与完善的动力源泉，我们每天都要和数学问题打交道，每天都要解决许多的问题.然而，以我们现有的解题技巧，面对茫茫题海，我们感到身心疲惫、顾此失彼.怎样才能在有效的时间内运用巧妙的方法，行之有效地快速解题呢？通过这次的选择题、填空题解题技巧的探究获得了很大的启发：在考虑运用一成不变的演绎推理解题同时，可以运用归纳总结的方法、极端原理、图形特殊化、位置特殊化、特殊值法等达到解题有效的最大化.同时，也给读者在考试或数学活动中提供了一些值得借鉴的解题方法以提高数学探究思维与创新思维的能力.

【关键词】 问题 解题 演绎推理 归纳推理

选择题与填空题作为客观题是升学考试、重点高中选拔考试中必不可少的，在数学考试中的分数一般接近总分的一半.我们经常会听到学生在考试后的哭诉：我被选择题或填空题的某一题（尤其是中考的第10题与第16题）卡住，花了很多的时间没有解决，导致我在解答题上的答题时间不够，并且在做解答题时心里还惦记着这些题目，出现一些不该出现的错误.因此，我们说：选择题与填空题的答题是否顺利直接决定本次考试的是否顺利成功，选择题与填空题答题顺利则学生的心态就不会失衡，就会有更多的精力与时间放在解答题上，否则本次考试一般会失常.

常规的客观题的解法有利用演绎推理的直接法：根据题目的题设条件，通过计算、推理或判断，最后达到题目要求.还有是利用归纳推理的间接法：如试验法、排除法或筛选法等.

为了既快又准确地找到解题的答案，本文突出对客观题依据归纳推理的思维，利用极端原理、图形特殊化、位置特殊化、特殊值法等解题方法与技巧结合典型例题进行探讨.

一、问题的提出

所谓推理，就是从一个或几个已知判断，得出一个新的判断的一种思维形式.而根据推理所表现的思维进程方向的不同，可将推理分为两种：演绎推理与合情推理.

演绎推理也叫论证推理，由于这种推理对前提的承认自然能带来对结论的承认，每一步的推理都是可靠的、无可置辩的和终决的，因而可以用来肯定数学知识，建立严格的数学体系.

而归纳推理在多种多样的合情推理中，又是用途最广的.归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模式，是一种对经验、对实验观察结果进行去粗取精、去伪存真的综合处理方法.

杨振宁老先生认为他之所以成功，是因为在中国接受了系统扎实的演绎教育，在美国接受了优秀前沿的归纳教育.那么我们若用归纳法代替常用的演绎法，或是将演绎与归纳结合起来，借助极端原理、图形特殊化、位置特殊化、特殊值法等方法在解选择题、填空题时会不会有更好的效果呢？

经过许多的尝试，可以发现，2012年温州市中考数学第10题运用归纳法会更加快捷，能节省许多时间.

引 例：如图1，在△ABC中， ,M是AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向匀速运动到终点C，动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B.已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点，连结MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，

△MPQ的面积大小变化情况是（ ）

A. 一直增大 B.一直减小

C. 先减小后增大 D.先增大后减少

这道题用常规解法会十分困难，需要

设未知数，列出相当复杂的函数解析式，

计算量十分大，并会消耗许多时间，在中

考这种争分夺秒又分分必争的重要性考试中，有没有更好的方法呢？答案是肯定的，我们可以考虑用归纳推理，取特殊点来观察面积变化情况，如①当P点取在A点；②当P点取在AC当中一点（比如P为AC中点）；③当P点取在C点时；通过这三个特殊点构造的图形计算面积分别为 就可以快速判断正确答案为C.

笔者经过多年对各级各类考题的积累，尤其是竞赛题、温州中学自主招生考试中的一些较难的客观题借助归纳推理、极端原理、图形特殊化、位置特殊化、特殊值法等方法解决问题，可以达到事半功倍的效果.

二、问题的深入

（ 一）利用位置特殊化

例1 如图，在△ABC中，已知BD =2CD,AM =3MD,过点M作直线

交AB，AC于P，Q两点，则 的值为（ ）

A．2 B.3 C.4 D.6

常规解法：（ 图2）倍长AC到E，连接BE，延长AD交BE于F，直线PQ交直线EB于G，然后要进行多次运用梅氏定理，即 ，然后可得BF =EF，AF,BC都为△ABE中线，因此D为重心，AD＝2DF，然后根据AM＝3MD可得M为AF中点，设 ，由梅氏定理得 ， ,而BF =EF，因此 ， ，得到 ， ， ， .

特 殊解法： （图3）不妨令PQ∥BC，则易证得

∴

，

∴

故选C.

例2（2013年温州中学T9）如图4，已知⊙O₁的半径为r，⊙O₂的半径为R，⊙O₁与⊙O₂外切于点P，B为⊙O₁的切点，A是⊙O₂上任意一点（不与P重合），连结AP,AB，则 为（ ）

解析： 把AB看作是两圆的外公切线.易证△ABP∽△O₂CO₁ ，则 ， ∴ ，故选A.

（二）利用图形特殊化

例3如图5,⊙O是半径为1的△ABC内切圆，过BC边的中点M和该三角形

内心O引直线MO与高AH交于点E，则线段AE的长为 ( )

A 、 B、1 C、 D、2

（图5）

解析：构造边长为3,4,5的直角三角形. 设⊙O切BC边于点F，则 ,易得MF =0.5，MH =0.7，又OF//AH,则 ，得HE =1.2，所以AE =1，故选B.

例4 （10年温州中学T13）如图6，已知锐角△ABC的外接圆半径等于2，

∠BAC= ，O，H分别为△ABC的外心和垂心，连接OH与BC的延长线交于

点P，则OH·OP = .

（图6） （图7）

解析：如图7，把△ABC看作是∠C为直角的直角三角形.可得 ,即 .

（三）利用图形、位置特殊化

例5 已知：如图8，过△ABC内一点P作DE∥AB，FG∥AC，MN∥BC.

那么 的值是( 　 )

A. 　 B.2　 C. 　 D.

解 析：因为选择项是肯定的且唯一正确的答案，所以可用特殊三角形(如等边三角形)，并把点P放在特殊的位置(正三角形的中心).　

这样易得 ，　

同理可得：

∴ = ×3＝2.

故应选B.

（四）利用特殊值法

例6 已知 为实数，则解集可以为 的不等式组是（ ）

常规解法：

A．所给不等式组的解集为 ，那么 为一正一负，不妨令 ，则 ，解得 ，∴原不等式组无解，不符合题意，故错误；
B.所给不等式组的解集为 ，那么 同号，设 ，解得 ，解集都是正数；若同为负数可得到解集都是负数；不符合题意，故错误；
C.理由同上，不符合题意，故错误；
D.所给不等式组的解集为 ，那么 为一正一负，不妨令 ，则

，解得 ，∴原不等式组有解，可能为 ，符合题意，故正确；故选D．

特殊解法：

∵ ，∴可以取 代入每个选项 ∴ ，故答案选D.

（五）利用极端原理

例7（2010年温州中学T8）已知点 、 分别在 轴正半轴、 轴正半轴上移动， ，则以 为直径的圆周所扫过的区域面积为（ ）

Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.

解 析：通过起始位置与终点位置的圆确定扫过区域的面积为以AB为半径的 圆与以AB为直径的圆的面积和减去两圆的重叠部分.即

，故结果选D.

例8（2009年镇海中学T2）100人共有2000元人民币，其中任意10人的钱数的和不超过380元.那么，一个人最多能有（ ）元

A.216 B.218 C.238 D.236

解析：设一个人最多能有 元，另外99人的钱数相等.则 故选B.

根据以上例题的解题过程，我们可以发现对于一些用演绎法解题较繁琐的题目，我们可以使用归纳法以使解题更加方便快捷.

三．问题的再次深入

通过以上的探究，我们懂得了归纳法、极端原理、特殊图形、特殊位置、特殊值等方法对于解决一些客观题具有的快捷性与灵活性.但如果选择支有“以上都不对”或“其值随图形的变化而变化”的选项，则一般不可以用特殊图形.

此时我们可以用归纳法去排除一些错误的答案，再用演绎法去确定正确的结果，使归纳法与演绎法相结合来解题.

例 9 如图9，△ABC纸片中AB=BC＞AC，点D是AB边的中点，点E在AC上，将纸片沿DE折叠，使点A落在BC边的点F处.则下列结论成立的个数有（ ）

①△BDF是等腰直角三角形 ②∠DFE=∠CFE

③DE是△ABC的中位线 ④BF+CE=DF+DE

A.①② B.②③

C.②③④ D.①②③④

常规解法：①根据折叠性质可知AD=DF，所以BD=DF，即△BDF一定是等腰三角形．因为∠B不一定等于45°，所以①错误；
②连接AF

，交DE于G，根据折叠性质可知DE垂直平分AF，又点D是AB边的中点，在△ABF中，根据三角形的中位线定理，得DG∥BF．进一步得E是AC的中点．由折叠性质可知AE=EF，则EF=EC，得∠C=∠CFE．又∠DFE=∠A=∠C，所以∠DFE=∠CFE，是正确的；
③在②中已证明正确；
④根据折叠以及中位线定理得等式右边=AB，要和左边相等，则需CE=CF，则

△CEF应是等边三角形，显然不一定，错误．故选B．
特殊解法：①，②，③可根据上文解析得.而④的证明可用归纳法来证，假设

△ABC是∠B= 36°的黄金三角形，易证DF+DE=DA+DB=AB =BC =BF+CF,又∵∠DFE =∠A =∠C=72°，∠B =∠BFD =36°，∴∠EFC =∠C =72°，∴△EFC为黄金三角形，∴ ,∴BF+CE≠BF+CF=DF+DE，故④是错误的，故选B.

四．总结回顾

通过对这种客观题的解题技巧的探究经历让我们知道，运用演绎法解题，并不能快速有效地解决所有问题，很多数学问题，尤其是选择题、填空题这一特殊题型，有时候使用归纳法可能会有更好的效果.总结这次的经历，有以下几点收获：

1．解决许多数学难题，不一定要冥思苦想，从条件到结论运用一般的演绎法做出题目，我们还可以灵活的运用归纳法，或将归纳与演绎相互结合，通过直观的图形特殊变化或特殊的数据分析，更快地弄清题意，解决题目.

2．数学题目虽然多种多样，种类繁多，但其实都有相类似的特征.一张试卷中的选择题有10道之多，填空题有6～8题之多，难道我们都要一道一道地从条件到结论解题吗？不，通过本次的数学探究活动，我们知道，对于某些客观题，运用归纳法猜想，如运用图形特殊化或特殊值法等解决几何题或代数题，会节约很多时间.

3．事实告诉我们，归纳需要演绎的支持.在我们的归纳猜想中，很多题目由于条件的疏忽与遗漏，可能导致猜想错误，但这也让我们明白，猜想需要严格的证明，归纳是演绎的前提，演绎是归纳的目的，即归纳的同时离不开演绎.将两种推理相结合，这才是解题的真谛.

4.通过本次的数学探究活动，让我深刻的认识到今后不管在数学教学上或命

题研究上，都要有演绎与归纳的思维渗透.下例就是本人在温州市数学命题研究班结业时命制的一道数学选择题：（选入九年级课前课后总复习）如图10，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点P为AB上的一个动点，以点A为圆心，AP长为半径的圆弧交边AC于点D，以B为圆心，BP长为半径的圆弧交边BC于点E，点P在运动过程中始终保持点D，E在边AC，BC上，则点P在AB上可运动的最大距离是( )

A ． B． C． D．

解析：点P最接近点A的位置为点E与点C重合，此时BP=2,AP= ，同理可得BP= ，故点P运动的最大距离为 .

综上所述，因为考试成绩=实力+心态+技巧，而考前的实力已定，心态的调整又与答题是否顺利有关，因此我们更要认真研究答题的技巧.数学的解题中存在许多技巧，需要我们去发现与研究，以及数学思想方法的融会贯通.这当中存在着许多的奥秘，今天笔者只是涉足了很小的一部分，希望能够给同行和同学们带来一点启发，起着一点抛砖引玉的作用.数学中还有许多未知的知识等着我们去探索，今后我还将在数学教育与知识传授、数学解题与方法上做一个有心人.

【参考文献】

[1]郑毓信. 数学方法论[M].南宁： 广西教育出版社， 1991.3

[2]黄忠裕.中学数学思想方法专题选讲[M].成都：四川大学出版社，2006