碰撞冲击过程中过载的计算

碰撞冲击过程中过载的计算

李茂其,张道配,陆腾飞

（贵州航天风华精密设备有限公司   550009 ）

摘要：为解决零件与平板碰撞后，过载是否超过许用过载，本文借助弹性力学的知识，通过小球正碰作用时间的计算，推导出球板冲击作用时间计算公式，从而计算出冲击作用时间和过载，计算结果表明，碰撞后，零件已超过许用过载，不能继续使用。

1. 两球对心碰撞作用时间推导

设两球体由不同材质构成，其小球半径、质量、弹性模量和泊松比分别为R1、m1、E1、γ1和R2、m2、E2、γ2。两小球碰撞分为压缩阶段和恢复阶段，从碰撞开始，两小球在碰撞力作用下逐渐压缩，两球心距离因此而逐渐缩短，两球相对速度由碰撞前Vro逐渐降低至0，此时两球之间的压缩量达到最大值。随后两小球变形逐渐恢复，相对速度由0增加至Vro，此刻两球分离。在两球碰撞过程中，碰撞力P由零逐渐增加至峰值，而后又不断减小到零，显然，碰撞力P与压缩距离有关；有弹性力学经典公式可得：

/                                  (1)

式中/，E1和E2分别为两球弹性模量，γ1、γ2分别为两球泊松比；P为两球间的接触压力。将公式（1）改写为

/

式中/                                       (2)

两球对心正碰时，在碰撞力P作用下，两球做减速运动，此时球1和球2速度分别为v1、v2，根据牛顿第二定律分别建立微分运动方程为：

/                                                     （3）

球1和球2的相对速度Vro,和两球心距离的缩短速度相等

                                                  （4）

将上式两边对时间求导数得

                            （5）

式中，μ为两球折合质量。将（2）式代入（5）式得

                                                  （6）

将上式两边乘以后得

                                            （7）

两球对心碰撞开始时其压缩距离为0，两球相对速度为vro,当压缩至某一距离a时，此刻两球相对速度为。积分上式得

                                     （8）

当压缩至一定程度时，两球速度为零，其相对速度为零。则由（8）式可算出两球最大压缩距离为                           （9）

将（8）式积分可得到压缩阶段所需的时间

                            （10）

令，当碰撞开始时，t=0,a=0故x=0；当到达压缩终了时刻t时，a=amax,x=1。积分10式，得：

                                               (11)

设

,则上式可改写为：

（12）

式中β为β函数；Г为Г函数（由表可查的Г（））

2. 球板冲击作用时间的计算

球板间碰撞可看做非弹性碰撞，当两球间冲击力大于材料屈服强度，此时将会发生塑性变形，如图1所示。在两球碰撞初始阶段，材料应力和应变成线性阶段，此阶段为弹性变形。当应力超过A点时，即使应力在很小范围内波动，应变仍会快速增加，由于材料内部晶格产生滑移，使得材料在此阶段内暂时失去了抵抗变形的能力，此阶段为塑性变形阶段。而当卸掉外力时，应变会由B点返回至C点。由图1可以看出，虽然材料产生了不可恢复的塑性变形，但BC段可以近似的看作平行于AO段。因此，非弹性碰撞，可以近似的看为压缩阶段和恢复阶段，且能近似看作OA和BC两段均遵循胡克定律。

图1：应力应变关系

压缩阶段相对速度从vro减少到零，其所需时间为t1，不考虑屈服段时间，显然t1与12（式）相同为

                                    （13）

恢复阶段速度从0变到vr=vro, 为恢复系数，因此恢复阶段所需时间为整个碰撞时间为：

                                     （14）

整个碰撞时间为：

                             （15）

对于平板，R1=∞，M1=∞，则vro=v0，则

                             （16）

式中m为球的质量，,R为球半径，为恢复系数，v0为球碰撞前速度。（16）式即球板冲击作用时间计算公式，作用时间与物体材料的力学性质（弹性模量、泊松比、恢复系数）有关，还与物体的质量、质心、碰撞前的速度相关。

3. 零件与平板碰撞计算

零件与平板碰撞时间为店面接触，可看做球板碰撞，零件质心到与平板碰撞点的距离为30mm,因此R=0.03m，零件为铝合金，查表可知弹性模量E=70×10

9、泊松比γ=0.34，恢复系数=0.75，质量m=3kg，平板材料为铸铝，查表可知弹性模量E=41×109、泊松比γ=0.35。零件距舱体220mm做自由运动与平板产生碰撞，因此碰撞前速度为。将参数代入公式（16），可计算出零件与平板冲击作用时间为0.412ms。由冲量公式Ft=mv,式中t为冲击作用时间0.412ms，m为零件质量3kg，v为碰撞前速度2.076m/s,代入参数可算出冲击过程碰撞力,从而得出碰撞后过载为504g，超出许用过载。

4. 结论

本文通过相关文献资料，从理论上分析两球碰撞冲击过程，从而推导出球面碰撞的冲击过程，得到冲击时间与过载。通过此理论计算，可推导出零件是否超过本身许用过载，能够判断零件是否失效。

参考文献：

[1]马明江,陈丽.冲击作用时间的分析计算[J].平顶山工学院学报,2004(04):68-70.

[2]凌邦国.碰撞过程中碰撞力定量计算[J].南通工学院学报,2001(04):7-9.

[3]凌邦国.碰撞时间的精确测定及其应用[J].南通工学院学报(自然科学版),2002(03):4-6.

[4]程昌钧.弹性力学［M］． 北京: 高等教育出版社， 1999: 520-542．

[5]王长春.从能量的角度讨论两体碰撞问题［J］．大学物理，2005，24( 9) : 18-19，22．