1.河北农业大学 理学院, 河北 保定071000
[摘 要] 从一道题目出发探究瑕积分的敛散性,判断瑕积分过程中涉及
型未定式极限,但瑕积分的敛散性判定又区别于型未定式极限的存在性.从分析过程中,提炼出题目关键, 自变量的趋近方式会影响 两个瑕积分都收敛时,其和才收敛.
[关键词] 瑕积分；收敛；发散；未定式
1 问 题
讨论积分
的敛散性.
在讲解瑕积分时,学生经常提出三种解决方案：
（1）中,被积函数 
是奇函数,积分区间对称,故积分为0；
（2）
（3） 
极限为
极限为
,属于
型,故极限不一定存在.
2 理论知识
2.1 型未定式
例1 
解：可以判断此题属于型未定式,不能用极限的四则运算法则解决,所以通过分子有理化将问题进行如下转化
2.2 瑕积分敛散性
对于以点
为瑕点的瑕积分
,有
其中
为
的原函数.若极限
存在,则瑕积分收敛[1].
例2 考虑瑕积分
的敛散性.
解：被积函数在
上连续,
为其瑕点. 由于
故当
时,
,瑕积分收敛;
当
时,
,瑕积分发散;
当
时,
,瑕积分发散.
3 解 析
不妨从极限存在必唯一的角度看待问题.积分中,积分变量
只是一个符号,积分值和积分变量符号无关. 当
时,变量
以不同的方式、速度趋于0时,考虑两个瑕积分：
和.
但
结合解法（2）,得极限不唯一. 读者还可以对和
选取不同的趋于0的速度,
的结果不一样,故发散. 故解法（2）错误.
对于解法(1), 奇函数基本性质 [2]: 
在
上可积,且是奇函数,则
即
是奇函数,但在
上不可积. 或
仍然是因为瑕积分和
选取不同的趋于0的速度,的结果不一样,故发散. 解法（1）错误.
对于解法（3）,对于属于型极限,极限是不确定是否存在.通过以上分析,对于本题属于型,并且极限不存在.
4 结 论
以
为瑕点的瑕积分
,
只有右端两个瑕积分都收敛,即极限
,
同时存在时,积分才收敛.
[参 考 文 献]
[1] 华东师范大学数学系.数学分析(上).[M].第四版.北京:高等教育出版社,2018.
[2] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.[M].北京:高等教育出版社,1993.
[基金项目]
[作者简介]李永利（1990-）,女，硕士，讲师，从事数学专业教学研究.Email:liyonglistudent@163.com
张雅静（1977-）,女，硕士，讲师，从事数学分析教学研究.Email:287251300@qq.com
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