基于数学模型的项目成本预测探索

基于数学模型的项目成本预测探索

王胜楠

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摘要：建立数学模型进行项目成本预测，用函数关系来表示比较稳定的结构或现象间比较稳定的相关关系，对一定时期内成本变动的趋势做出判断，进行项目成本预测是确定成本目标的一种有效技术。

关键词： 数学模型  预测  成本

预测就是根据事物过去发展变动的客观过程和某些规律，参照当前已经出现和正在出现的各种可能性，运用现代管理和数学以及统计的方法，对事物未来可能出现的趋势和可能到达的水平做出一种科学推测。同样，项目成本预测，就是根据有关的项目成本资料，采用科学管理的方法，以及采用数学、统计的数理统计的手段，建立数学模型，对一定时期内成本变动的趋势做出判断，从而确定成本目标。可以看出，项目成本预测也是成本管理中的一项重要工作。

通过项目成本预测，可以为项目确定成本实现目标提供可靠的依据，为促进项目挖掘降低成本的潜力指明方向：为计划期内进行各种有关成本方面的决策提供参考。下面，对建立数学模型进行项目成本预测机理做详细介绍。

1 数学建模常用的几种预测方法

1.1.灰色预测模型：

1.1.1 GM（1,1）预测模型实际操作

1）数据检验与处理，判断数据列的级比是否都落在可容覆盖内，从而判断已知该数据列是否可进行灰色预测；

2）根据预测算法建立模型得到预测值；

3）检验预测值----残差检验、级比偏差值检验；

4）给出预测预报即结论。

通过对原始数据的整理寻找数的规律，分为三类：

a、累加生成：通过数列间各时刻数据的依个累加得到新的数据与数列。累加前数列为原始数列，累加后为生成数列。

b、累减生成：前后两个数据之差，累加生成的逆运算。累减生成可将累加生成还原成非生成数列。

c、映射生成：累加、累减以外的生成方式。

1.2.时间序列预测模型：

1.2.1常用方法

1）移动平均预测法—算术平均数、加权平均数等（逐期增量大体相同的情况）

2）指数平滑预测法—离预测期近的数据赋予较大权重，权数按距离远近呈指数递减。

1.3.趋势外推预测方法：

趋势外推预测方法是根据事物的历史和现实数据，寻求事物随时间推移而发展变化的规律，从而推测其未来状况的一种常用的预测方法。

趋势外推法的假设条件是：

(1)假设事物发展过程没有跳跃式变化，即事物的发展变化是渐进型的。

(2)假设所研究系统的结构、功能等基本保持不变，即假定根据过去资料建立的趋势外推模型能适合未来，能代表未来趋势变化的情况。

由以上两个假设条件可知，趋势外推预测法是事物发展渐进过程的一种统计预测方法。简言之，就是运用一个数学模型，拟合一条趋势线，然后用这个模型外推预测未来时期事物的发展。

趋势外推预测法主要利用描绘散点图的方法(图形识别)和差分法计算进行模型选择。

主要优点是：可以揭示事物发展的未来，并定量地估价其功能特性。

趋势外推预测法比较适合中、长期新产品预测，要求有至少5年的数据资料。

1.4.回归预测方法

回归预测方法是根据自变量和因变量之间的相关关系进行预测的。自变量的个数可以一个或多个，根据自变量的个数可分为一元回归预测和多元回归预测。同时根据自变量和因变量的相关关系，分为线性回归预测方法和非线性回归方法。回归问题的学习等价于函数拟合：选择一条函数曲线使其很好的拟合已知数据且能很好的预测未知数据。

1.5.卡尔曼滤波预测模型

卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的模型，其基本思想是： 采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻地估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现时刻的估计值。

它适合于实时处理和计算机运算。卡尔曼滤波器问题由预计步骤，估计步骤，前进步骤组成。 在预计步骤中， t时状态的估计取决于所有到t-1 时的信息。在估算步骤中， 状态更新后， 估计要于时间t的实际观察比较。更新的状态是较早的推算和新观察的综合。 置于每一个成分的权重由“ Kalmangain”（卡尔曼增益） 决定，它取决于噪声 w 和 v。（噪声越小，新的观察的可信度越高，权重越大，反之亦然）。前进步骤意味着先前的“新”观察在准备下一轮预计和估算时变成了“旧” 观察。 在任何时间可以进行任何长度的预测（通过提前状态转换）。

自适应卡尔曼滤波器的主要优点是只需要少量的数据得到预测的起始点（尽管多一点数据会使结果好一点），它可以自我调节，从连续的观察中自动设置参数。缺点是对考虑复杂性的能力有限，有时收敛慢或不收敛（有正式的标致来判断是否收敛）。

1.6.组合预测模型

组合预测法是对同一个问题，采用多种预测方法。组合的主要目的是综合利用各种方法所提供的信息，尽可能地提高预测精度。组合预测有 2 种基本形式，一是等权组合， 即各预测方法的预测值按相同的权数组合成新的预测值；二是不等权组合，即赋予不同预测方法的预测值不同的权数。 这 2 种形式的原理和运用方法完全相同，只是权数的取定有所区别。 根据经验，采用不等权组合的组合预测法结果较为准确。

2 建立数学模型进行成本预测的程序

预测运算过程的数学模型是在一种比较稳定的结构或现象具有某种比较稳定的相关关系的基础上建立起来的，即是利用事物内部因素间发展的因果关系来预测其发展变化的趋势。亦即，按照影响项目成本的诸因素变化来预测成本的变化，因此，在研究数学模型时，就必须以项目成本过去发展变动的客观过程、某些规律性、随机性等历史条件为依据，用先进的科学方法进行分析。

2.1环境调查

环境调查可以从以下三方面来进行：

（1）市场需求量调查：主要是了解国民经济发展情况，国家和地区的投资规模、方向和布局，以及主要工程项目的性质和结构、市场竞争形势等。

（2）项目成本水平调查：主要是了解本行业各种类型工程的成本水平，本企业在各地区、各类型投标、中标工程项目的成本水平和目标利润，建筑材料、劳务供应情况和市场价格及其变动趋势。

（3）技术发展调查：主要是了解国内外新技术、新工艺、新材料、新的设计方法采用的可能性及对项目成本的影响。

2.2 收集资料

根据项目成本预测的具体目标，收集相关资料。主要包括：

（1）企业本部给项目部下达的与成本有关的指标；

（2）历史上同类项目的成本资料；

（3）项目所在地的成本水平；

（4）工程项目中与成本有关的其他预测资料，如计划、材料、机械台班、工时消耗等；

（5）其他与成本有关的资料，如项目技术特征、新材料、新工艺、新设备等的使用，土地征购、交通、能源供应等。

2.3 建立数学模型

（1）确定自变量X和因变量Y

为便于研究，不妨把一个项目划分成几个时间相等的预测阶段，以每个预测期段内完成的同类项目产值与成本的数据为研究对象。根据完成产值与项目成本之间的依存关系，以产值为自变量X、成本为因变量Y来表示。

（2）建立基本关系式Y=f（X）

根据完成产值与项目成本之间的依存关系，可表示为：

Y=a+bX

式中：a——固定成本；b——单位变动成本。

（3）求参数a、b

应用最小二乘法原理，a、b可用下式分别求得：

b=

a=

式中,。这里，n为样本个数，也即期段数据的个数。

2.4数学模型的检验与分析

采用数学模型进行成本预测的一个重要前提是：变量X、Y之间存在比较稳定的相互关系。但实际上，预测目标与有关因素是否确定存在较强的相互关系呢？下面用相关系数来分析两变量之间是否存在线性相关关系，以及这种关系强弱程度。

总体相关系数用r来表示：

r=

（1）当|r|→0时，X对Y的影响变小，线性关系减弱；反之|r|→1时，X对Y的作用加大，线性关系加强。极端情况：r=0或r=1时，则称不相关或完全相关。

若r>0，模型直线的斜率b>0，Y随着X的增加而增加，称为正相关；若r<0，Y与X负相关。

3 案例分析

集团公司承建建业中心项目位于郑州市经济技术开发区朝凤路西，经南五辅路北，航海体育场南侧。建业中心项目总用地面积32572㎡，总建筑面积230287㎡。地上建筑面积约130287m2，包含一栋249.9米高52层超高层写字楼，建筑面积约106414㎡，一栋23.84米高5层酒店，建筑面积约19073㎡，一栋19.83米高三层独栋办公，建筑面积约4800㎡。地下建筑面积约10万m2、地下为4层通体地下室，裙房及地下室部分基坑深度约18.95~20.45m、塔楼基坑深度约21.45m。

图1  建业中心俯瞰图

下面以建业中心项目为例。根据工程进度时间安排及完成产值的实现方式，以每季度为时间段，每季度验工数据作为相应季度的完成产值建立表1。

表1                             单位：百万元

（1）根据表1资料，先做出表2的初步计算：

表2                        单位：十万元

（2）计算：依据公式

==（160+230+260+240）=222.5

==（146+198+215+226）=196.25

（3）计算参数a、b

b===0.7714

a==196.25-0.7714×222.5=24.613 5

（4）推导公式：该项目成本的数学表达式为

Y=24.613 5+0.771 4X

（5）计算相关系数r进行检验：

（6）r =              

= =0.947

由此可以说明，完成产值与项目成本具有较强的线性相关关系，证实选样确定的数学模型是合理的，于是可以进行下一步的成本预测。

（7）成本预测

根据以上建立有效的数学模型，可以根据以后每一季度的产值推知出其季度成本。例如2012年第一季度产值2000万元，则相应的成本为：

Y=29.613 5+0.771 4X   X=2000   推出成本Y=179（十万元）

4 总结语

利用建立数学模型进行项目成本预测时，需要特别指出：

（1）建立预测数学模型的基础是：较为稳定的因素形成的比较稳定的结构，没有比较稳定的结构，就无法建立数学模型。

（2）数学模型实际上反映的是现象之间的一种函数关系，它比直接经验的主管判断和专家评议等方法要精确简便得多。

（3）数学模型的参数，用来说明自变量和因变量之间关系的紧密程度和方向，因此，在成本预测过程中，要对自变量和因变量之间的相互影响及其影响程度进行全面分析。

（4）选择自变量时，要以定性分析为基础，定量分析和定性分析相组合，着重考察彼此之间是否具有本质联系，在诸多影响因素中是否是最主要的和具有决定意义的。

应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径。数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之一。

参考文献

1 朱冰静，朱宪辰编著．预测原理与方法 上海交通大学出版社，2019.12

2 于小四.工程项目“六位一体”精细化管理. 北京：中国铁道出版社，2011,2.

3 于小四.工程管理实用技术与案例分析. 北京：中国铁道出版社，2012,4.

4  R·威尔逊著，苏通译．实用成本控制指南．北京大学出版社，2017

5 于小四,京沪高铁上海虹桥站工程施工组织技术研究与实践. 北京：中国铁道出版社，2012,11.

6 K·K·Hamphreys．Costruction Cost Engineering Handbook．Marcel Dekker.Inc，2019

来稿日期：2022-10-11