Geogebra在高中数学教学中的应用——以《3.2.1函数的单调性》教学片断为例

Geogebra在高中数学教学中的应用——以《3.2.1函数的单调性》教学片断为例

蔡维琛

福建省晋江市毓英中学

摘要：核心素养视角下的函数单调性定义教学，要让学生懂得用实验探究的方法去学习抽象的数学内容，经历数学定义的形成过程，体会研究新的数学定义的基本思路和方法。

关键词：Geogebra；单调性定义

1问题

学习高中数学对许多学生来说是比较困难的，原因之一就是它比较抽象。学生自学，内容看不懂；经过老师讲解后，可能还是一知半解。有什么更好方法来帮助学生理解抽象的数学内容？个人认为要把抽象的内容具体化，让数学对学生来说看得到、摸得着，在课堂教学中，利用信息技术辅助教学，和学生一起进行数学实验探究是一个不错的选择。下面以《3.2.1函数的单调性》教学片断为例，谈谈数学软件Geogebra在课堂教学中的应用。

2例谈

单调性是刻画现实世界运动变化增减趋势变化规律的主要方法，是高中阶段学习函数，要研究的最重要的性质。对于单调性的认知，学生停留在初中阶段对具体函数图象的直观判断，图象上升是随着的增大而增大，图象下降是随着的增大而减小。而对于定量刻画函数的单调性，用数学符号语言来精确刻画单调性的定义，这种从图形语言到符号语言的转换，从直观到抽象的转变，对高一的学生来说是比较困难的。为了使学生能更好地理解单调性的定义，可利用数学软件Geogebra来画图，动态演示取值的变化规律，让学生感受取值的任意性，加深对单调性定义的理解。

函数单调性教学片断：

函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，叫做函数的单调性。同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识．但是没有严格的定义，今天我们的任务就是探究函数单调性的定义.

问题3：同学们在初中已经学习过二次函数，请同学们说说的单调性。  

师生活动：老师利用Geogebra画出的图象，学生观察图象，根据图象回答，得到结论：的图象在轴左边是下降的，随着的增大而减小；在轴右边是上升的，随着的增大而增大。

师生活动：老师在图象上任意取一点A，移动点A的位置，让学生观察点A坐标的变化。学生观察并回答问题，得到结论:点A的横坐标越大，纵坐标越小。

追问3：我们通过这个小实验，再一次验证了函数图象下降，函数值随着自变量的增大而减小；同学们思考一下，能不能用符号语言更准确的来定义函数的单调性呢？请同学们再观察以下实验。

师生活动：老师在图象上任意取一点A，再在点A的右侧任取一点B，移动点A的位置（保持点B在点A的右侧），任意停留若干个位置，提醒学生记下点A的坐标，观察点A横纵坐标的变化，并分别与点B的横纵坐标比大小。学生先独立思考再展开讨论，最终得到结论：点A的横坐标小于点B的横坐标，点A的纵坐标大于点B的纵坐标。老师总结：其实无论点A如何移动，只要保持点A的横坐标小于点B的横坐标，总有点A的纵坐标大于点B的纵坐标。

追问4：我们能把这句话用符号语言表达出来吗？

师生活动：让学生先独立思考再回答问题，老师根据学生回应进行启发，最后得到只要，总有

追问5：这里对有什么要求吗？是代表的某些数，还是任意的数？

师生活动：学生展开讨论，老师引导、点评。最终得到，函数，，，总有

追问6：虽然点A和点B是任意选取的点，也是上任意两个数，但上面的结论是我们通过实验观察得到的，能保证一定正确吗？你能给出证明吗？

师生活动：学生验证，，，总有这个结论的正确性。老师点评并板书。

追问7：根据同学们探究结果，如果，满足且，有，这时我们就说在上单调递减。你能模仿上述方法，用符号语言刻画在的单调性吗？

师生活动：学生回答，老师点评并板书。

追问8：你能模仿上述方法，用符号语言刻画函数，的单调性？

师生活动：老师提醒学生先画图再用符号语言表达，学生独立完成，老师巡视指导，再点评。

【设计意图】通过具体实例，利用信息技术，现场实验探究，引导学生实现对单调性从自然语言到符号语言的转换，这是对单调性进一步定量刻画。让学生参与整个探究过程，提升学生的观察分析能力，语言转换能力，培养学生直观想象、数学抽象等素养。

问题4：同学们已经用符号语言对，，的单调性进行了刻画，能不能用符号语言表述一下在区间的单调性？

师生活动：学生独立完成，个别学生上台板书；学生交流讨论；老师点评，并给出严格的单调性定义表述。

【设计意图】在学生完成了对三个具体函数单调性刻画的情况下，进一步对抽象函数单调性进行刻画，是一个从特殊到一般归纳概括的过程，是从具体到抽象的过程，也让学生完整体会函数概念的形成过程（具体函数--图象特征--数量刻画--符号语言--抽象定义），有助于提升学生的学习能力。

3结束语

《普通高中数学课程标准（2017年）版》指出：数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程。本文的教学片断围绕函数单调性定义这个数学问题，和学生一起利用Geogebra进行数学探究活动，让学生经历函数单调性的形成过程，最终懂得用符号语言刻画函数单调性的定义，整个过程水到渠成。这将有利于加深学生对知识的认识，有利于降低学生学习的难度，提高学生的兴趣，也有利于发展学生直观想象、数学抽象等素养。  

课题项目：本文系教育部福建师范大学基础教育课程研究中心2021年度立项课题《基于数学实验培养学生数学核心素养的研究》（立项编号：KCZ2021040）的研究成果。