压缩感知框架下MCA与模态分解联合去噪方法

压缩感知框架下MCA与模态分解联合去噪方法

孙苗苗

青岛职业技术学院 山东青岛 266555

摘要

中深层勘探的地震资料品质差，提高地震数据的信噪比成为地震资料处理的关键。本文综合多种去噪方法的优势提出了一种基于压缩感知的MCA与模态分解联合的去噪方法，该方法通过模态分解将复杂地震数据分解为不同尺度的特征向量，同时应用MCA的稀疏表示方法提高对深层地震数据的稀疏性描述，在压缩感知框架下进行联合去噪。该方法可以在保证高信噪比的基础上更为有效的保留弱有效信号。经理轮模型和实际资料验证，说明该方法能够应用于深反射地震资料的弱有效信号的提取， 能够更好地压制强随机噪声的同时，减少弱有效信号的损失。

关键词：压缩感知 MCA模态分解 地震数据 去噪

引言

为了获取高质量的地下成像结果，如何在有效保护弱信号的前提下提高地震数据的信噪比成为地震资料处理的关键之一。在专门针对弱地震反射信号的提取方面，发展了各种各样的方法。赵雪平等[1]提出了一种基于随机共振理论的噪声压制算法，成功的将弱信号提取出来。Evans等[2]应用地震层析成像技术提高了Medicine Lake volcano地区的弱信号识别能力。Vilar等[3]应用随机共振理论提取微弱信号。小波变换也是常用的弱信号提取方法之一，刘世奇等[4]利用二次小波变换非线性阈值收缩方法分离弱反射信号。金丹等[5]在Curvelet域对噪声进行压制，能够保留被随机噪声淹没的弱信号。

传统的数字信号处理一般遵循Nyquist（香农）采样定理，该定理认为：如果信号是带限的，且采样频率高于或等于信号带宽的两倍，即可从样本中将该连续信号完全重建出来，否则将产生混叠效应，不能将其完整恢复。由Donoho等[6]提出的压缩感知理论冲破了香农采样理论的限定，认为：如果待恢复数据具有可压缩性，即在某个变换域可以用极少数的值来描述，就可以构建测量矩阵，通过该矩阵观测被处理的数据，再通过各种稀疏反演算法实现数据的准确恢复。

经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）方法是由Huang提出 [7]，该方法会按照分解信号的局部特征时间尺度，把复杂的原始信号分解成具有不同特征尺度的本征模态函数（Intrinsic Mode Function，IMF）分量。就物理意义出发，高频分量含有更多的噪声，而真正有价值的信息则大多集中在低频区域。因此，将EMD运用到地震勘探随机噪声衰减当中，是具有前瞻性的。但是，由于EMD在分解过程中极易产生模态混叠和端点效应，Wu等[8]和Yeh等[9]先后对其进行改进，提出了集合经验模态分解（Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD）方法和互补集合经验模态分解（Complementary Ensemble Empirical Mode Decomposition，CEEMD）方法，使得信号在不同尺度上具有连续性，计算效率也有一定的提高。刘爽将CEEMD运用到f-x域中，以此对地震信号随机噪声进行衰减并取得了较好的压制成果[10]。Sun等将CEEMD与压缩感知结合提高弱信号的提取效果[11]。

本文提出通过CEEMD将复杂地震数据分解为不同尺度的特征向量，同时应用MCA的稀疏表示方法提高对深层地震数据的稀疏性描述，在压缩感知框架下进行联合去噪，经理轮模型和实际资料验证，说明该方法能够应用于深反射地震资料的弱有效信号的提取， 能够更好地压制强随机噪声的同时，减少弱有效信号的损失。

1 理论与方法

1.1 CEEMD方法

设原数据长度为n，CEEMD以EMD分解为基础，步骤如下[12]：

1）向原始信号s[n]中加入I组辅助白噪声wi[n](i=1,… ,I)，辅助噪声是以正、负对的方式加入，生成2I个分量：

                   （1）

2）分别对集合中的每个信号si[n]（i=1,… ,2I）做EMD分解，每个信号得到一组模态分量，计算第1个本征固有函数：

                （2）

第1个余量为

（3）

3）计算第k（k=2，…，K）个余量：

                （4）

之后的分解函数变为，第k+1个分量为

         （5）

式中，系数ξk为信噪比，这里取常数，Ek(•)为EMD分解的第k个函数。重复步骤（3）直到筛选终止，得

                                          （6）

经过一系列运算后，得到一组IMF函数。该方法能够根据信号的频谱分布分解信号。

1.2  形态分量分析

假定信号x可以用 N 个形态特征不同的分量xn的线性组合来模拟，即：

                                （7）

式中：每一个xn称为一个形态分量，每个分量在其对应的字典Φn中是稀疏的。此外，MCA 方法进一步假设对于给定的分量

xn，它在相应的字典Φn中得到极度稀疏地表示，而在其它字典中不能得到有效地稀疏表示。换句话说，MCA 方法依赖于字典之间的不相干性，并利用不同的字典来区分不同的分量。

1.3  压缩感知理论

1、基于稀疏重构的压缩感知弱信号提取模型

假设y(n) 、x(n) 和v(n) 分别代表带噪信号、干净信号和不相关的噪声信号，则带噪信号y(n)可以表示为：

y(n) = x(n)+v(n)                                          (8)

其中n为离散时间索引。假设地震信号在某稀疏域能够进行稀疏表示，对公式（8）进行稀疏变换，其稀疏域表达式为：

Y( k) = X( k) +V( k)                                     (9)

其中，Y(k)、X(k)和V(k)分别为y(n) 、x(n) 和v(n)的稀疏域表示，其中k代表频带索引。假设每道地震记录的长度为N，带噪语声信号可排列成N×1 维列向量Y∈RN×1 ：

Y =［Y(0)，Y(1)，…，Y(N－1) ］T                    (10)

同理也可组成N×1 维列向量X∈RN×1 和V∈RN×1。

弱信号提取模型是根据已知的带噪语声信号向量Y，重构得到向量，使得与无噪声弱信号信号向量X尽可能接近，达到减小噪声干扰和弱信号提取的目的。

2、重构算法

假设用已知的字典基矩阵D∈RN×M分别表示无噪声信号X∈RN×1和噪声信号V∈RN×1，它们具有不同的稀疏性，那么在压缩感知理论下，信号增强重构的过程可归纳为：根据带噪地震信号Y∈RN×1，在约束条件的限制下，使用信号重构算法估计无噪声信号X∈RN×1的稀疏表示S∈RM×1，最后得到增强后的弱信号∈RN×1。该增强重构过程用数学公式表达为：

                     （11）

其中代表向量的l0范数，Y≈D·S 为约束条件，M 为字典基中基向量的个数，即字典基矩阵D的列数，设D(l) 为矩阵D 的第l 列，其中l = 0，1，…，M－1。

2 基于压缩感知的MCA与CEEMD联合去噪方法

2.1 算法流程

本文提出的方法首先通过CEEMD方法对地震数据分解为不同频段的分量，针对不同分量采用MCA方法提高对地震数据的稀疏描述能力，在CS框架下通过互补的方式解决弱信号提取中存在的问题，具体流程如图1所示，主要包括CEEMD分解、自相关分析、基于MCA的CS去噪、IMF分量重构等4个步骤。

图1 基于压缩感知的MCA与CEEMD联合去噪流程

2.2 选择字典基

稀疏性是压缩感知理论的一个基本因素，通常的Fourier变换、小波变换等非冗余的正交字典无法对结构复杂的深反射层地震数据进行最稀疏的描述。不同稀疏表示方法表达的信号特征不同，具体特点详见表1。其中的非抽样小波变换、曲波变换等方法对地震数据具有更优地稀疏表示能力。因此，本文算法选择曲波域和非抽样小波域构建过完备字典基矩阵。

表1  不同稀疏表示方法特点对比

Table 1  Comparison of different sparse representation methods

3 模型和实际资料测试

1、模型测试

对一含噪的地震数据采用不同方法进行去噪处理，通过对比分析去噪的效果来验证本文去噪方法的有效性，突显该方法相比其他方法在去噪方面的优势及在保护弱有效信号方面的可行性。

选取的含噪地震数据如图2a所示，图中标示处可见丰富的弱有效信号，随机噪声的存在使得这些有效信息淹没在噪声中，严重影响了地震数据的质量。为了去除随机噪声，获取高品质的地震数据，首先采用小波阈值去噪方法对该数据进行了去噪处理，结果如图2b所示，在前20道信号的信噪比相比其他道更低的情况下，小波阈值去噪效果较差，有效信号尤其是弱信号损失严重。图2c为本文联合去噪结果，从图中可以看出，该方法得到的地震剖面干净，残留噪声很少。

（a）                           （b）

（c）                                                      

图2不同去噪方法结果对比

（a）含噪声地震剖面;（b）小波阈值去噪结果;（c）本文所提联合去噪结果;

2、实际资料测试

选取某叠后剖面进行去噪，如图3a所示，该剖面的估计信噪比为0.98，在采用CEEMD去噪时舍去第一分量（结果如图3b），采用联合去噪时需要处理第二、三分量（结果如图3c）。从去噪剖面和信噪比估算结果上看，CEEMD去噪结果中噪声残留较多，本文所提算法去噪剖面噪声残留较少、有效信息丰富，结果相对比较理想。

（a）                               （b）

（c）                        

图3 含噪声的地震剖面以及不同方法去噪后的结果

（a）含噪声地震剖面SNR≈0.98；（b）CEEMD去噪SNR≈2.5；（c）本文所提算法去噪SNR SNR≈4.3

4 结论

针对目前地震勘探中面临的地震资料信噪比低和弱有效信号发育这一问题，综合多种去噪方法的优势提出了一种基于压缩感知的MCA与CEEMD联合的去噪方法，该方法通过在压缩感知框架中引入MCA更好的区分有效信号和随机噪声，在此理论支撑上，利用CEEMD对地震数据进行分解，获取不同频带的分量，对含噪较多的分量有针对性的采用基于压缩感知的MCA去噪方法进行压噪，最后将去噪后的分量和不含噪分量进行重构获取去噪后的地震数据。该方法可以在保证高信噪比的基础上更为有效的保留弱有效信号。数值试算和实际资料通过对不同方法去噪结果的对比和细节分析，验证了基于压缩感知的MCA与CEEMD联合去噪方法的有效性，相对于其他方法，该方法在中深层含弱有效信号地震数据去噪中更加具有优势。

参考文献

[1]赵雪平. 地震波传播性质及地震勘探弱信号的混沌振子检测方法研究[D].长春: 吉林大学,2006.

[2]Evans J. R., Zucca J. J.. Active high resolution seismic tomography of compressional wave velocity and attenuation at Medicine Lake Volcano, Northern California Cascade Range[J]. Journal of Geophysical Research Solid Earth, 1988, 93(B12):15016-15036.

[3]Vilar J. M. G., Rub J. M.. Effect of the output of the system in signal detection[J]. Physical Review E Statistical Nonlinear and Soft Matter Physics.1997, 56(1):32-35

[4]刘世奇, 刘江平, 张恒磊, 等. 低信噪比地震记录干扰波压制方法研究[J]. 工程地球物理学报, 2009, 6(1):48-52.

[5]金丹, 程建远, 王保利, 等.基于Curvelet变换的地震资料弱信号识别及去噪方法[J].煤炭学报,2016,41(02):332-337.

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青岛职业技术学院校级课题《压缩感知框架下基于形态成分分析的面波压制方法研究》，2022YB02