结构分析方法的梳理与探究

结构分析方法的梳理与探究

杨航

中南建筑设计院股份有限公司   湖北 武汉  430000

摘要：结构分析方法按照发展阶段，大致可以分为经典结构分析方法、矩阵分析法和有限单元法。本文主要介绍了这几种分析方法的原理和大致步骤以及经典力学原理和能量原理在结构分析方法中的应用，并探索了矩阵位移法和有限元法的联系与区别。

关键词：能量原理；力法；位移法；矩阵分析法；有限单元法

引言

人类文明发展之初，建筑往往凭借人们的经验建成，没有非常完善的理论基础。但是随着社会的发展和科学技术的进步，人们对逐渐对建筑结构设计的规律以及结构的强度、刚度、稳定性有了一定的认识，而且对建筑的质量、功能性的要求也越来越高。通过总结经验并进行相关实验、理论研究，逐渐形成了成系统的结构分析方法，并逐步发展完善。

结构分析方法由17世纪牛顿经典力学的创立到当代计算机技术与结构分析的交融，可以大致分为经典结构分析法、矩阵分析法、有限元法。

1 经典结构分析法

在对实际结构进行力学分析之前，无论是静定结构还是超静定结构，都需要作出某些简化和假设。经典结构分析方法的基本理论主要是经典力学原理和能量原理。

1.1经典力学原理

结构分析中采用的经典力学原理主要是力和力矩的静力平衡原理。利用该原理，可以直接获得静定结构的全部反力和内力。对静定结构进行内力分析时，可以对结构整体或隔离体分别建立静力平衡方程，当方程数目与未知力的个数相等时，即可获得该静定结构的反力和内力。

1.2能量原理

如果将平衡条件或几何变形条件用相应的能量原理代替, 以此为基础建立的解法叫做能量法。结构分析中的能量方法包括虚功原理、最小势能原理、最小余能原理、卡氏第一定理、卡氏第二定理等。

2 矩阵分析法

在计算机技术出现后，矩阵分析方法就发展起来，但是经典的结构分析的基本理论, 仍然是矩阵分析的基础。而矩阵位移法与矩阵力法正是矩阵结构分析中非常重要的两个组成部分。

2.1矩阵力法

矩阵力法是在力学的基础上发展起来的，都是将超静定结构的多余力作为未知数，去求解结构在已知荷载作用下的内力和位移。但在数学运算上，采用了矩阵的方法，以便组织自动化运算和简化数学表达式。矩阵力法分析的基本步骤同力法是差不多的。

2.2矩阵位移法

矩阵位移法是以位移法作为基础的结构矩阵分析方法。在矩阵位移法中也是以结构的结点位移作为基本未知量。

矩阵位移法的大体步骤为:（1）对结构的结点和单元进行编号，建立整体坐标系和局部坐标系，并对结点位移进行编号。（2）计算各单元局部坐标系下的单元刚度矩阵 和整体坐标系下的单元刚度矩阵。（3）集成总刚度矩阵K及边界条件处理。（4）计算等效结点荷载和综合结点荷载P。（5）求解结构刚度方程，得未知的节点位移。（6）计算各单元杆端力。

3 有限单元法

3.1有限单元法概述

实际中常常遇到一些几何上复杂、不规则边界、有裂缝或厚度突变以及非线性的物理系统，对于这些情形，经典分析方法和矩阵分析方法解决起来都非常困难，这时就可以采用有限单元法。

有限元法将连续的整体离散为有限个单元的组合体，这些单元互相联系但又不互相重叠。使用在各单元内假设的近似函数来分片的求解整体上待求的未知函数，通常由未知函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达近似函数，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。

3.2有限单元法步骤

（1）结构离散化。对整个结构进行离散化，分割成有限个单元，单元间通过节点连接。（2）求出各单元的刚度矩阵。（3）集成总体刚度矩阵，并写出总体平衡方程。（4）引入边界条件，求出各节点的位移。（5）求出各单元内的应力和应变。

4 有限单元法和矩阵位移法的区别

矩阵位移法有时被称为杆系结构的有限单元法。的确，矩阵位移法是传统位移法和现代有限元法的结合点，它们的单元刚度方程和整体刚度方程都可以是相同的。但是尽管在方法和步骤方面，矩阵位移法和有限元法有相似之处，它们仍然是有本质区别的。

区别有：

（1）有限单元的类型可以划分为一维单元、二维单元和三维单元。但矩阵位移法只应用于一维单元，即杆系结构。

（2）结构有限元法可以分为两类，即线弹性有限元法和非线性有限元法，其中线弹性有限元法是非线性有限元法的基础。

（3）基本原理的不同。矩阵位移法建立在结构力学中的位移理论方法，在计算过程中很容易获得方程，然后用计算机解方程，有限元法是建立在弹性力学理论，变量理论和平均剩余理论的基础上，它通过近似函数获得未知函数来解决问题。

（4）两者得到单元刚度矩阵的方法、手段不同。矩阵位移法采用位移法的方法得到单元刚度矩阵，有限元法利用形函数人为地对单元的位移作一个假设，然后应用能量原理得到单元刚度矩阵。

（5）矩阵位移法在计算杆端力时须叠加一个“固端力”项，而在有限元法中结点应力是直接对位移求导获得的，丢失了“ 固端力” 一项，致使应力的精度下降。而且每做一次求导, 精度就下跌一个阶次。为了得到满意的应力, 往往需要加密网格, 导致计算量的成倍上升。

结论

结构分析方法从正式出现以来，经历了隔离体法、力法和位移法、矩阵分析法到现在的有限单元法，分析方法越来越成熟，分析对象也从最开始的静定结构、简单超静定结构、较复杂的杆系结构到现在的复杂连续体，范围越来越广，计算水平、计算精度也逐步提高。这些结构分析方法是一脉相承的，比如矩阵位移法和矩阵力法根植于位移法和力法，矩阵位移法又是结构有限元位移法的雏形。这些分析方法遵循共同的基本理论，如经典力学、能量原理等。结构分析方法的进步，不仅是本行业学者苦心钻研的结果，也是同其他交叉领域，如数学领域、计算机领域等相互促进、相互融合带来的。可以预见的是，随着科技水平和理论基础的创新与发展，在现有的结构分析方法的基础上，必将会有更加先进优越的结构分析方法出现。

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