设参数用解析法巧解初中几何题三例

设参数用解析法巧解初中几何题三例

詹建丰

浙江省诸暨市店口镇湄池初中

在代数问题中，我们通常会用设参数的方法，理清那些较复杂的数量关系，使一些难于正面解决的问题迎刃而解。而所设的参数往往最后可以消去，达到了设而不求的目的。可见，参数法给解题带来诸多方便，使得解题方法化繁为简。在几何问题中，我们同样可以设某一个几何量为参数，利用参数法解决一些几何问题也是非常奏效的。

下面列举几个实例，读者可以领略一下参数法解题的风采。

1. 设参数巧求点的运动路径长

例 题：如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P在边OC上从点O向点C运动，点Q在边CB上从点C向点B运动，P、Q两点的运动速度均为每秒2个单位，连接PQ的中点为M，求点M运动的路径长。

分析：以O为原点，分别以OC和OA所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，设点P和Q运动时间为t，可知OP=CQ=2t

点P坐标为(2t,0),点Q坐标为(2,2t),由中点坐标公式可知点M坐标为(t+1,t),设M坐标为(x,y)，则x=t+1,y=t,通过消去参数t ,可得点M在直线y=x-1上，从而得出点M的运动轨迹是OC和BC的中点连线段，即可求出点M的运动路径长。

二、设参数巧求最值

例 题：如图，在平面直角坐标系内，矩形OABC的顶点A. C分别落在x轴、y轴上，且OA=5，OC=4，O为边OA上一点，且OD=2，点P为直线CB上的一个动点，在PD右侧作PQ⊥PD，且PQ=PD，在点P沿直线运动的过程中，求使得CQ+DQ值最小的点Q的坐标，并求出这个最小值。

图2

分析：设点P横坐标为a，如图1过点P作PE⊥OA，QF⊥BC．先证明△PED≌△PBQ，由全等三角形的性质可知：PB=PE=4，QF=DE=2-a，故此可得到点Q的坐标为（a+4，6-a）； 令x=a+4，y=6-a，消去字母a从而得到y=-x+10；如图2所示：可知点Q为直线y=-x+10上的一个动点,CQ+DQ的最小值可转化为“将军饮马问题”，即作点C关于直线y=-x+10的对称点M，连接MD，交直线y=-x+10与点Q．先求得点M的坐标为（6，10），从而可求得直线DM的解析式为 与y=-x+10联立可解得点Q坐标，由轴对称的性质可知CQ+DQ的最小值为MD= =

三、设参数巧证三角形面积相等

例题：某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB＝8．如图，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．分别连结AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．

分析：以A点为原点，AB方向为x轴正半轴，AC方向为y轴正半轴，建立直角坐标系。设AP=a,则点P(a,0)，D(a,a)，F(8,8-a)

直线AF的解析式为 ,解得点K坐标为 ，所以PK= , DK= ，∴ = , ,∴

结束语：在解几何题的过程中，我们往往会遇到一些不能直接求解或直接求解困难，或较繁琐的变数问题时，常会通过引入条件中原来没有的辅助参数，使问题转化从而得到解决。应用参数法解几何题要恰当选取参数，就会收到事倍功半的效果。其次，还要考虑参数本身的取值范围，以及参数并不是直接研究对象，它只是起到“桥梁”和转化作用，所以最后我们还应该回到问题的本质。