构建知识模型 提升数学能力

构建知识模型 提升数学能力

覃金菊

浙江省 台州市洪家中学 浙江 台州 318015

[摘要]在数学的解题中，学生应该体验问题解决中的思维走向，体会从最初的笨拙想法到问题信息再挖掘后的顺畅求解过程，理解从思维闭塞到反思后问题本质的提炼，进而推动解题过程的改进与优化，扩大解题效果．高三的复习更多的是解题教学，重视知识模型的构建，对高三的数学复习效率有很大的提高作用．

[关键词] 模型构建 数学能力 高三复习

1问题的提出

2003年4月出版的《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“高中数学新课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识．”[1]而在高三数学解题中，学生很多时候就题论题，没有将知识建构或重构，就不能达到举一反三的效果，所以出现了“懂而不会”的现象．因此，很有必要重视知识建构，从而提高高三数学复习效率．

2数学知识模型构建在高三复习中的应用

2.1在圆锥曲线定义复习中的应用

圆锥曲线的定义有三种常规的形式，并在高考中经常出现，题目形式多变，所以学生对这个知识点丢分比较多，这缘于对圆锥曲线的定义理解和应用不够透彻．

例1、【2015高考浙江，文7】斜线段 与平面 所成的角为 ， 为斜足，平面 上的动点 满足 ，则点 的轨迹是（ ）

1. 直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支

解析：对于这道题很多学生都是猜的，不知道考什么知识点．其实本题考查的是圆锥曲线定义的问题．我们可以将圆锥曲线的定义构建模型，分别为定义1模型，即平面内一个动点到定点的距离比到定直线的距离的比值是一个常数；定义2模型，即平面内一个动点到两个定点的距离的和（绝对值的差）是定值；定义3模型，即空间中用一个平面截两个倒圆锥所得到的曲线．由题可知，当 点运动时，在空间中，满足条件的 绕 旋转形成一个圆锥，由于母线与轴所成角30°小于截面与轴所成角60°，所以所得曲线为椭圆．显然是定义3的模型．

变式1：在棱长为1的正方体 中， 为棱 的中点，点 在侧面 内运动，若 ，则动点 的轨迹是（ ）

A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支

变式2：在棱长为1的正方体 中，点 在侧面 内运动，若 到平面 的距离和 到直线 的距离相等，则动点 的轨迹是（ ）

A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支

解析： 变式1中是模型3的应用，变式2是模型1的应用，答案分别是D和B．

2.2在含参数不等式恒成立问题中的应用

含参数不等式恒成立问题是历年高考、竞赛中的热点问题，由于这类问题灵活多变、综合性强，令不少学生望而生畏，束手无策．通过对这类题的知识进行模型建构，可提高解这类题的能力．

例2、已知函数 在 上有两个零点，求实数 的取值范围．

解 析：本题是有关确定区间上的含参问题．

方案一：由于参数分离比较容易，所以比较容易想到变量分离得 ，然后再考虑 在 的变化情况，很自然想到用导数这个工具对 进行分析．

，得 ，易知 ，

又 ， ， 要使函数 在 上有两个零点，如图可得

方案二 直接考虑 在 上的变化，再利用函数的最值和极值来判断． ，由题意得 一定有一正一负两个根（不妨设 ），若 或 时， 在 上单调，不符合题意；所以有

通过运算可得

小结：对于含参数的问题，大部分可以构建参数分离模型和分类讨论模型等．若参数可分离，则采用参数分离模型，把问题转化为熟悉的模型——求函数的最值问题．如果不能分离，则采用分类讨论模型，把问题转化为二次函数根的分布、数形结合模型来解决问题．这样学生对于陌生的题目，也能从这两个基本的模型得到启发来解决．

2.3在数列复习中的应用

数列是高考的重点内容，近年来浙江高考作为压轴题出现，难度比较大，得分比较低．许多学生都有这样的感悟：复习与不复习、复习多与少对高考得分没有太大的影响，高考的题目与学习的内容差距比较大．笔者认为不然，将数列的复习进行知识模型建构，可提高解题能力．我们都知道数列的两个基本模型是等差数列和等比数列，所以建立等差数列模型和等比数列模型是常用的方法．

例3、已知数列 满足 且 ，求数列 的通项．

解析：对于这道题大部分高三学生都能很快的发现 ，数列 是等差数列，然后求出数列的通项．

变式1、已知正数数列 满足 且 ，求证：

解析：这个数列虽然不是等差数列，但是通过变形可以得到 的形式，显然可以用等差数列的所有思想和方法，即通过累加的方式求证结果．

_{结论1：在数列中，}

_{若对任意都有，则}

_{若对任意都有，则}

_{显然，这些结论都是等差数列结论的推广，如果学生能够在等差数列的基础上进行深入学习就可以得到更好的效果．}

_{例4、在数列中，已知，求通项．}

_{解析：对于这道题大部分学生能比较快发现，由题意得，从而，再构造等比数列求解．}

_{变式：在数列中，已知，求证：}

_{解析：本题数列不能转化为等比数列，但是通过变形可以得到的形式，这显然是等比数列模型的范畴．}

_{结论2：在数列中，，}

_{若对任意都有，则，}

_{若对任意都有，则，}

_{这些结论都是等比数列结论的推广，如果学生能对知识构建模型，就不会望“题”生畏了．研究浙江省近几年的高考题，发现不少题目的来源就是平时等差数列模型的改编，注重对学生能力和对知识理解的考察．师生应该注重等差数列、等比数列模型的构建，从而达到举一反三的效果．}

_{3反思与建议}

_{面对一个不熟悉的问题，需要我们能充分挖掘信息，从信息中联系到原有的模型建构，通过反思、模仿等途径对问题进行新的模型构建并加以解决．我们应该有这样的信念，没有任何一道题是孤立，它总是在一些常规题目进行发生发展而来的．因此，我们总能通过对问题的剖析和发现，进行构建和重构，从而达到解决问题的目的．}

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