陕西省西安中学 陕西西安 710000
“中点弦”问题是圆锥曲线中的重点内容之一，也是高考的重点与热点。对于“中点弦”问题常规的解法较为繁琐，运算量也较大。而“点差法”将斜率公式与中点坐标结合，化繁为简，大大减少了运算量。但是“点差法”使用的前提是圆锥曲线与直线有两个交点，否则利用点差法计算得到的结果也不是我们所需要的结果。
一．双曲线中的“点差法”是否需要检验？
题目1：过点
做直线
与双曲线
交于
，
两点，使得
为
的中点，这样的直线是否存在，若存在请求出，若不存在请说明理由。
解：设
则
，两式作差得到
，那么
，所以直线
，所以直线
分析：直线
是满足条件的解吗？我们联立所求得的直线与双曲方程发现
直线与双曲线没有交点，那么这样的直线不存在。
从此题我们可以看出“点差法”使用的前提是直线要去圆锥曲线有两个交点，那么利用“点差法”求出的直线才是满足条件的直线。那么此题中我们为什么会求出直线
，这条直线有什么意义？
事实上，我们在令 两式做差的过程中，产生了增根，造成了信息的损失。因为上式做差的结果与
做差的结果完全相同，也就是说我们求出的
表示一簇双曲线
中的一些双曲线的中点弦所在的直线方程。那
需要满足哪些条件次才能使为中点弦所在直线呢？联立直线与双曲线方程得到
，
，所以
。
二．用“点差法”解椭圆问题是否需要检验
题目2：已知椭圆方程为
，求以
为中点的弦所在的直线方程。
解：设椭圆与直线的交点分别为，，那么
则
，
，所以
，
则
。
分析：此题为“中点弦”问题，显然用“点差法”。联立直线与椭圆方程我们得到
，
，则即为满足条件的直线。事实上，与双曲线不同，椭圆是全封闭图形，检验的时候我们发现
在椭圆内，那么过的直线必与椭圆有两个交点。换言之，椭圆内的任何一个点都可以作为椭圆的弦中点。
与双曲线类似，在做差的过程中依然造成信息的缺失，我们所求出的直线是一簇具有相同离心率的椭圆
中满足
，即
的椭圆的弦中点所在直线。
三．用“点差法”解抛物线问题是否需要检验
题目4：已知抛物线方程为
，求以
为中点的抛物线所在直线方程。
解：设
与抛物线交点为，则
，两式相减则：
，所以
，所以
分析：联立直线与抛物线得到
，
，则直线与抛物线无交点，因此满足条件的直线不存在。事实上，在计算斜率时
，此处只用到了中点的纵坐标，而没有利用到中点的横坐标。也就是说，以
为弦中点的直线均与平行，与椭圆类似抛物线是半封闭图形，此处中点也有要求，应当保证点在抛物线内
，即
。
由此可见，椭圆，抛物线，双曲线的“中点弦”问题在用“点差法”时均需检验。不过，由于椭圆，抛物线图形的特殊性，只需检验中点是否在内部，而双曲线则需联立直线与双曲线方程看大前提有两个交点是否满足。
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