亲历推理过程 培育高阶思维——以《鸡兔同笼》教学为例

亲历推理过程 培育高阶思维——以《鸡兔同笼》教学为例

沈健

绍兴市上虞区道墟街道中心小学 浙江绍兴市 312368

【论文摘要】

“推理能力”是2011版数学课程标准中数学学习的十个核心词之一。推理的理性精神价值和实际应用价值，决定了其在数学教学中的特殊地位。小学数学问题解决是学生积累数学活动经验的重要载体，其核心是需要学生通过“观察、思考、猜测、推理”等富有思维成分的活动才能解决。

【关键词】推理能力 问题解决 高阶思维

随着小学数学核心素养的提出，“推理能力”越来越被人们所重视。新课程标准中明确指出：推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是由一个或几个已知的判断（前提）推导出新的判断（结论）的思维过程，也就是说，推理的本质功能在于推出新结论、生成新知识。可以说，没有推理，就没有今天的数学，没有推理，就没有真正的数学学习。

演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算是。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。

前不久，有幸观看了小学数学特级教师沈百军老师关于《鸡兔同笼》的课堂展示，感触颇深。下面，笔者就以《鸡兔同笼》一课为例，谈谈在问题解决教学中如何引导学生体验推理过程，积累推理经验，从而促进思维发展。

1. 在猜想中激发推理的需求

数学猜想是以一定的数学事实为根据，包含着以数学事实作为基础的可贵的想象成分。一方面，儿童天生敢想、敢说，喜欢问问题，这是有利于数学猜想的心理优势；另一方面，儿童思维的抽象性、逻辑性处在逐步发展的过程中，有时也会随心所欲，脱离数学事实提出想法。因此，在数学教学中，学生应当有足够的时间和空间去经历猜想的活动过程，以激起学生更大的求知欲望。

【片段一】

师：今天我们一起来研究“鸡兔同笼”的问题，（课件出示：鸡兔同笼）看到这个课题，你觉得我们要研究些什么呢？（学生七嘴八舌谈自己的想法）

师：现在鸡和兔一共有5只，脚有14只，请你猜一猜，鸡有几只？兔有几只？

生1：我猜鸡有3只，兔有2只，因为每只鸡有两只脚，2×3=6只脚，每只兔有4只脚，4×2=8只脚，6+8=14只脚。

生2：老师，我是一次一次凑出来的，也是鸡有3只，兔有2只。

师：你们都很会动脑筋，鸡兔同笼问题乃是一道千年名题，请看大屏幕。

（课件出示）大约一千五百年前，我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题——“鸡兔同笼”问题。今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

师：你看得懂吗？

生1：告诉我们鸡和兔一共有35只，脚有94只。

生2：问我们鸡和兔各有多少只。

（待学生理解了以后，课件出示）笼子里若干只鸡和兔，从上面数，有35个头，从下面数，有94条腿，鸡和兔各有几只？

师：大胆猜一猜，鸡有几只？兔有几只？（全班有4位同学利用课外辅导班里学的方法计算出了结果，但说不清这样列式的理由）

在第一次猜测中，由于数据比较小，学生可以凑出答案再运用演绎推理去证明结论是正确的，可是随着数据的增大，学生已经无法在短时间内去凑出来了。笔者认为，这种猜测是学生最“朴素”的想法，虽然效率低，不具有普遍性，但是这样的经历可以有效激起学生求知的欲望，也为后面画图法、假设法、列表法等打基础。

猜想，是对研究对象或问题进行观察、实验、 分析、类比、归纳后，根据已有的知识和经验进行的符合情理的推测性想象。提出数学猜想是发展合情推理能力的重要基础。发展学生的数学推理能力，首先要提高学生提出数学猜想的能力，在教学过程中就要引导学生运用实验、归纳、类比等多种方法，有根有据、合情合理地提出合乎规律的猜想，并在此基础上学会修正和检验猜想，对猜想作 进一步研究、探讨、验证，最终得出结论。

2. 在画图中享受推理的结论

小学生思维的基本特点，是从以形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式。这种抽象逻辑思维，在很大程度上仍然与感性经验相联系，仍然具有很大成分的具体形象性。相对于演绎推理来说，合情推理需更多地依靠直观形象与感性经验。而画图，正好可以直观形象地表示出头与脚的数量分配，为学生利用假设法解决问题做好知识铺垫。

【片段二】

师：现在让我们把数据变小一些，鸡和兔的头一共有8只，脚有26只，问鸡和兔各有几只？

生1：我是用凑的办法得出鸡有3只，兔有5只。

师：老师也给自己的学生上过这节课，有个同学是用画图的办法来想的。（老师在黑板上边画边说）先画8个图圈表示8个头，再在每个圆圈下面画两条脚，8个圆圈只用了16只脚，还多出10只脚，再把10只脚补上去，每个圆圈只能补两条腿了，所以补了5只，这5只就是兔子了，另外3只就是鸡了。

师：谁听懂他的意思了？你也能在白纸上画一画吗？并和同桌交流一下你的想法。

师：现在如果有9个头，26只脚了呢，请画图表示一下。如果头有11个，脚有30只呢？（全班同学基本都能很快画完）

师：你觉得这方法怎样？

生：这个方法好，快速，简单。

师：同学们，刚才的那题“头有35只，脚有94只”，你能独立解决了吗？（这时，除了一小部分同学还在画图，大部分学生已经抛开画图，在列式计算了）

沈老师连续安排了三次画图，让学生在尝试解决问题的过程中，初步经历合情推理的过程：总脚数的差里面有几个2（鸡和兔的脚数差），就要把几只鸡调整成兔。有了这样的感悟，使学生在直观欣赏推理得出结论的同时，对假设法的探究就会水到渠成，对假设法的本质也会理解得更加深刻。

3. 在假设中积累推理的经验

如果引导学生直观“看”，还只是停留在形象思维上，那么，启发学生说理，就是培养学生推理能力最主要的手段与基本途径了。小学生推理能力的发展与语言发展的关系密切，良好的语言表达能力能使学生的思考过程变得清晰而有条理。发展小学生的推理能力，就要提高学生“清晰、有条理地表达自己的思考过程”的能力，提高学生“用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质疑”的能力。实际上，课改以来的小学数学早就引进了所谓“奥数”的内容，如二年级的《推理》、三年级的《等量代换》、四年级的《鸡兔同笼》等，目的在于说理的过程中培养学生的逻辑推理能力。

【片段三】

（接上题）

师：同学们，你是怎么想的？

生1：我是用画图的办法来做的……

生2：我是列算式的，假设35只都是鸡，那么就有35×2=70（只）脚，比94只脚多了24只脚，也就是94—70=24（只），再把多出来的24只脚除以2，24÷2=12（只），这12只就是兔的只数了，鸡的只数就是35—12=23（只）。

师追问：除以2是什么意思？24÷2=12（只）也就是我们画图当中的哪一部分？

生3：因为每只兔比每只鸡多两只脚，也就是把多出来的脚再两只两只地补画上去。

师：说得太好了，我们把这种方法叫做“假设法”。假设都是鸡，那么多出来的脚就是兔的脚了。

生4：我还想到了先用94÷2=47（只），再用47—35=12（只），就是让鸡和兔都抬起一半的脚，那么多出来的12只脚其实就是兔子的，每只兔子多1只脚，多12只脚就是12只兔子了。（学生的思路更宽了）

“数学推理是一种习惯，像其他所有习惯一样，必须在多种情况下经常运用才能发展。”小学生推理能力的发展不同于一般知识与技能的获得，它是一个缓慢的过程，而且推理能力往往不是教师“教会”的，更多的是学生自己“悟”出来的，这种“悟”只有在数学活动中才能发生。由此，教师要充分利用各种学习材料，努力给学生提供探究与交流的空间，组织师生之间、生生之间进行交流和讨论，以促进学生的推理能力在“探究、猜想、交流”的过程中不知不觉地提高发展。

【参考文献】

1. 《义务教育数学课程标准》（2011年版）

2. 《跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的实践解读之——推理能力（上、下）》 发表于《小学数学教师》 2014第7.8.9期 曹培英