《分式》单元复习的思考

《分式》单元复习的思考

黄龙盛

江苏省兴化市陶庄中心校初中部

摘要：分式以分数和整式为基础。学习分式可以帮助学生对分数和整式进行深化理解，构建《代数式》知识网络，形成实数范围内完整的《数与式》知识体系。复习《分式》应强化学生对分式单元中概念的理解，全面掌握分式的加、减、乘、除、乘方等运算，学会用分式的知识技能解决问题。

关键词：分式；单元复习；思考

分式是在学生学习整式后对代数式的进一步研究，分式也是对分数的进一步抽象。分式单元复习必然要将其与整式、分数等进行对比，注意他们之间的区别与联系。

一、分式的基础知识

1.分式的概念

（1）分式

分式是两个整式的商，其中分母上的整式必须不为0，否则分式就没有意义。

例1.（2022湖南怀化）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是____．

分析：代数式有意义，（1）分母不为0，有x≠0；（2）二次根式被开方数不小于0。x+1≥0。∴且。探讨代数式有意义，应将多个方面都考虑到，列成不等式组，解出公共部分。学生常犯的错误是把分母不为零当作“字母不为零”去解，须防范。

（2）分式为0的条件

一个分式值为0时，分子固然为0，但同时分母应不为0.

例2.（2022北京）若分式的值为，则的值为(    )

A.     B.    C.    D.

分析：当一个分式的值为0时，它的分子为0，但同时其分母不能为0.本题中，x2-1=0，但x+1≠0,综合起来是x=1.选B.应警惕学生常犯的错误就是没有考虑分母不为0这一情况。

2.分式的基本性质

分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变。依据分式的基本性质可以对分式进行变形、约分和通分。

（1）分式变形

例3.（2022广西壮族自治区） 将分式中的、的值同时扩大倍，则分式的值(    )

A. 扩大倍  B. 缩小到原来的  C. 保持不变  D. 无法确定

分析：本题考查了分式基本性质的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．引导学生区分这类题中“各个字母同时扩大2倍”与“分子分母同时扩大2倍”是不一样的。不妨将各个字母先扩大2倍，再化简。将分式中的、的值同时扩大倍为，可见分式的值扩大了倍。故选A．  

这类题比较抽象，可以带领学生用特殊值代入，还可以看分子与分母的次数，如果是同次，则值不变；若分子高一次，则分式的值与字母扩大相同的倍数；若分子低一次，则分式的值缩小到原来的（这里的n是字母扩大的倍数）。

（2）分式的约分

分式的约分是根据基本性质约去分式中分子和分母中的公因式，成为最简分式或整式。

例4.（2023四川自贡） 化简：______ ．

分析：分式约分，先找出它们的公因式。对于分子和分母都是单项式的，找公因式时，系数是它们的最大公因数，相同字母是指数较小的那个；对于分子和分母是多项式的，先因式分解，公因式是分解后多项式中指数较小的。本题中，分母不可分解，分子可分解成（x+1）（x-1），公因式就是x+1，约分的结果是x-1.

（3）分式的通分

分式的通分，找出最简公分母，然后把各个分式的分子与分母同时乘以一个适当的代数式，使分母与最简公分母相同。找最简公分母时，系数是各分母的最小公倍数，相同字母是指指数较大的那个；如果分母是多项式，则应先分解因式再确定指数较大的因式，对于只在一个分母中出现的因式，则连同它的指数作为最简公分母的一个因式。

二、分式的基本运算

分式的运算是本单元的教学重点。有理数的运算顺序、运算律等在分式的运算中都可以用。

1.分式的加减运算

同分母分式的加减法，分母不变分子相加减；异分母分式的加减法，先通分后计算。整式与分式的加减法，一般把整式写成分式再计算。

例5.（2022四川眉山）化简的结果是(    )

A. B. C. D.

分析：这是一道分式加减法，分式与整式相加减，这里可以看成3项相加，也可以把a-2当作一个整体，就成了2项的和。考虑到a+2与a-2相乘可以用平方差公式，所以一般用“2项”来处理。先把a-2这个整式写成与第一项分母相同的分式，,利用同分母分式加减法继续进行运算。．故选：．

2.分式的乘除运算

分式的乘除运算，利用除以一个数等于乘以这个数的倒数先把除法转化成乘法，然后看分子与分母是否有公因式可以约分，若有必须先约分，使运算简化，最后把分子与分子相乘作为积的分子，把分母与分母相乘作为积的分母。

3.分式的混合运算

分式的混合运算，先乘除后加减，若有括号就先算括号里面的。当然有时可以用乘法分配律进行简便运算。

例6.（2023陕西）化简：．

分析：本题是分式的除法和减法混合运算，先利用异分母分式加减法法则计算括号里的，把除法转化为乘法运算,算括号外的乘法。原式=[-]÷=÷=

÷=·=.复习指导时应为学生指明：（1）计算过程写出来。不要两步并着一步走，以免靠口算出现错误；（2）计算除法时，除号改作乘号时，除式应改成原式的倒数；（3）在做分式的减法时，减式的分子是多项式的应添上括号；（4）运算顺序不能颠倒。

三、利用分式知识技能解决问题

利用分式运算求代数式的值，经常把分式运算与一元一次不等式、一元一次不等式组、二元一次方程组等组成综合题，提高学生的综合能力。

例7.（2023四川广安）先化简，再从不等式中选择一个适当的整数，代入求值．

分析：本题先化简分式．然后考虑从不等式中选择一个适当的整数代入，此时必须观察分式化简过程中所有分母中因式的情况，确保分母不为0.显然，本题中a的取值不能为-1和1，其他在规定范围内的整数都可以取。当然剩下的整数也只有2个，即0和2.当a取0时，分式的值为-1；当a取2时，分式的值为1。多年来，分式与不等式综合题，一般都要考虑不等式或不等式组的解集中有些值不可以取的问题，复习指导时，向学生讲明白。